Matematické Fórum

Sherlock · 07. 09. 2014 20:12

Zdravím,

Chci dokázat:
$x,y\in \mathbb{R}^{+}$

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\ge \frac{1}{1+xy}$

Zkoušel jsem různé substituce, např.
$1+x=a$
$1+y=b$

Dostanu:
(1a) $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\ge \frac{1}{ab-a-b+1}$
(1b) $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\ge \frac{1}{ab-a-b+1}$

Což by šlo roznásobit za předpokladu $ab-a-b+1>0$ (pro $ab-a-b+1$ <0 nerovnost triviálně platí). Ale potom naprosto nejsem schopen to dokázat. (navíc bych musel využít dalších šílených podmínek jako je $a>1$ a $b>1$ )

V (1b) by šla rovněž substituce $s=a+b$ , $p=ab$ , ale s tím jsem se taky nikam moc nedostal.

Poradíte co dělat?

BakyX · 07. 09. 2014 21:02

↑ Sherlock:

Použiť $s,p$ substitúciu v pôvodnej nerovnosti.

Inak, k tomu, že pre $ab-a-b+1<0$ nerovnosť triviálne platí. Nakoľko je to výraz $1+xy$ a mali sme kladné $x,y$ tak ťažko to bude niekedy platiť...

Sherlock · 08. 09. 2014 20:06

↑ BakyX:

to je neuvěřitelný jak já jsem nepozornej! :O
dík.

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2014 20:12

Nerovnost

#2 07. 09. 2014 21:02

Re: Nerovnost

#3 08. 09. 2014 20:06

Re: Nerovnost

Zápatí