Matematické Fórum

xort · 16. 09. 2014 10:43

Zdravím a prosím o pomoc.
Snažím se vyřešit integrál $\int_{0}^{\infty } \frac{sin(ax)}{e^{bx}+1}, a,b>0$ pomocí komplexní funkce a Resudiovy věty. Zvolil jsem integrační křivku od 0 do R, kde posílám limitu R do nekonečna na ose x, na y jdu od 0 do 2pi, singularitu obíhám půl kružnicí o poloměru r, které limitně posílám do nuly. Celkově jsem tak problém rozdělil na několik částí, z nichž jsem vyřešil všechny, krom křivky jdoucí podél osy y - $\phi=iy, y\in (0, \pi i -r)\cup (0, \pi i +r)$

Řeším tedy $\lim_{r\to0+}(\int_{0}^{\pi i-r} \frac{sin(az)}{e^{bz}+1}+\int_{\pi i+r}^{2\pi i} \frac{sin(az)}{e^{bz}+1})$

Mělo by vyjít $\frac{1}{2a}(e^{-2\pi a/b}-1)$ .

Bohužel se k této jediné části stále nemohu dopočítat - poradíte mi, prosím, někdo, jak na to?

Bati · 16. 09. 2014 11:50

Ahoj,
sám jsem si to zatím podrobně nepočítal, ale v tvém řešení vidím problém v definici křivky $\phi$ a to hned ze dvou důvodů. Tak jak je definovaná rozhodně nebude rovnoběžná s osou y, ale bude to takovej "zobák". A taky ta funkce má singularitu tehdy, když $e^{bz}=-1\Leftrightarrow bz=\pi i+2k\pi i\Leftrightarrow z=(2k+1)\tfrac{\pi}{b}i$ , takže bych volil takovou křivku, která z osy y obsahuje interval $[0,\tfrac{\pi}{b}-r]$ , případně $[0,\tfrac{2\pi}{b}]\setminus(\tfrac{\pi}{b}-r,\tfrac{\pi}{b}+r)$ (obdélník s ukousnutým rohem nebo vykousnutou stranou). Bohužel, na počítání těch integrálů už se moc necítím.

Rumburak · 16. 09. 2014 12:21

↑ xort:

Ahoj.
Je zde otázka, zda nepoužít už Cauchyovu větu (kterou můžeme považovat za zlvláštní případ residuové věty
pro situaci, kdy množina singularit "obklopená " uzavřenou křivkou je prázdná) - pak by nabídka pomocných
uzavřených křivek byla poněkud širší. Ale konkretní nápad nemám.

Bati · 16. 09. 2014 12:41

↑ Rumburak:
Z toho, co uvedl ↑ xort: jsem tak nějak usoudil, že uvnitř křivky nechce mít žádnou singularitu, a svůj příspěvek jsem taky tak myslel. Je pravda, že pak není třeba počítat žádná residua a stačí Cauchyova věta. Nevím ale jak by tady residuová věta mohla pomoct, kdybychom chtěli zahrnout singularity, ležící na ose y, vznikly by podle mě jen další problémy, protože daný integrand nevykazuje moc symetrií a my chceme jenom část "vpravo".

Matematické Fórum

#1 16. 09. 2014 10:43

Integrál pomocí komplexní funkce

#2 16. 09. 2014 11:50

Re: Integrál pomocí komplexní funkce

#3 16. 09. 2014 12:21

Re: Integrál pomocí komplexní funkce

#4 16. 09. 2014 12:41

Re: Integrál pomocí komplexní funkce

Zápatí