Matematické Fórum

Brzls · 21. 09. 2014 19:29

Další kinematika pro zájemce

Uvažujme horizontální rovinu, na kterou navazuje nakloněná rovina s úhlem sklonu alfa.

Homogenní koule o poloměru R se valí po horizontální rovině. Tření je dostatečně velké, tedy nedochází k prokluzování.
Určete minimální rychlost takovou, při které koule opustí podložku.
Valivý odpor či odpor vzduchu zanedbáváme.

darkorbit · 23. 09. 2014 21:21

↑ Brzls:

Zdravím,

úloha ma zaujala a za predpokladu, že pri náraze na naklonenú rovinu (predpokladám, že sa jedná o tento moment) guľa neprešmykne, som odvodil vzťah pre vertikálnu rýchlosť po náraze (ale neviem, či je správne, len že v hraničných uhloch dáva správne výsledky) v tvare $v_{y}(\alpha)=\frac{4v_{0}}{7}(1-\cos \alpha )\sin \alpha$
Ďalej sa však neviem dostať (ani neviem, či je to správna cesta), preto by som rád od autora popýtal hint alebo aj celé riešenie.

Ďakujem.

Brzls · 23. 09. 2014 21:58

↑ darkorbit:
Čau

Měl jsem k tomu dát obrázek to mě nenapadlo a omlouvám se za to.
Ta situace měla vypadat takto

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-09/02016_Kinematika.png

Opačná situace (kdy koule na rovinu naráží) mě celkem zaujala, jenže žádný řešení k ní nemám.

Ono vlastně ani k té původní nemám kompletní řešení, jen podstatnou část o které mi bylo řečeno že je dobře (podle mě totiž neplatí pro všechny úhly) tak jsem doufal že někdo přijde na kompletní řešení.
Tak či tak zkusím o tom popřemýšlet

vytautas · 23. 09. 2014 22:52

↑ Brzls:

zdravím

síce to je len myšlienka, ani neviem, či správna, no napadlo mi niečo :

ak guľa má rýchlosť $v_0$ , uhol sklonu roviny je $\alpha$
označím si "klesanie roviny" ako nejaké $h$ , ktoré v podstate znamená vzdialenosť medzi naklonenou rovinou a hornou vodorovnou rovinou, a $x$ ako vodorovná vzdialenosť od začiatku klesania

potom platí $\text{tg}\alpha =\frac{h}{x} \Rightarrow h=x\text{tg}\alpha$
a keďže $x=v_0t$
tak $h=v_0t \text{tg}\alpha$

potom ďalej v zvislom smere koná guľa jednoducho voľný pád, čiže jeho dráha, ktorú prejde zvislo nadol je jednoducho $H=\frac{1}{2} gt^2$

a keďže chceme, aby vyletela tak $H<h$

čiže musí ísť rýchlejšie dopredu ako klesať, aby sa nedotkla naklonenej roviny.

no mám zvláštny pocit, že je to príliš ľahké a vo výsledku mi to nedáva extra zmysel, ale možno snáď toto nakopne niekoho k správnemu riešeniu

Bati · 24. 09. 2014 01:45

Zdravím v tématu.
Vyšlo mi, že aby koule opustila podložku, musí její počáteční rychlost splňovat
$v_0>\sqrt{gR}(\sqrt{\cos{\alpha}}-2\sin{\tfrac{\alpha}2})$ . (*)

Fyzikální úvahy, ze kterých jsem vycházel:
1) Koule může opustit podložku pouze v případě, kdy se dotýká zlomového bodu. Jiné případy proto dále neuvažuji.
2) Dokud koule neopustí podložku, pohybuje se její těžiště po kružnici o poloměru R.
3) Celková rychlost koule roste, neboť její těžiště klesá v gravitačním poli.
4) Koule opustí podložku v okamžiku, kdy odstředivá síla $F_o$ převáží nad příslušnou složkou $F_d$ gravitační síly (směřující k zlomovému bodu).
5) Z předchozího plyne, že $F_o$ roste, kdežto zřejmě $F_d$ klesá. Proto stačí vyšetřovat "koncový" stav, tedy situaci, ve které je koule přesně na začátku nakloněné roviny.
Jednoduše řečeno, koule má čím dál větší šanci se odlepit, takže stačí zkontrolovat, jestli by se neodlepila úplně na konci hrany.

Výpočet:
3) vyjádřím pomocí ZZE: $mg(R-R\cos{\alpha})=\tfrac12mv^2\Rightarrow v=2\sqrt{gR}\sin{\tfrac{\alpha}2}$ .
Z 2), 4) a 5) dostanu $F_o=\frac{m(v_0+v)^2}{R}>mg\cos{\alpha}=F_d$ a po úpravě a dosazení za $v$ dostanu (*).

Zajímavý je případ $v_0=0$ , který odpovídá situaci, kdy se koule "samovolně" převalí přes hranu. V takovém případě dostaneme následující podmínku na $\alpha$ pro odlepení koule: $\alpha>\arccos{\tfrac23}\sim48°$ .

Brzls · 24. 09. 2014 08:45

↑ Bati:
Zdravím

Myšlenkový pochod jsme meli stejny. Konkretni vyppcty jsem nekontroloval, ale nejak se mi nezda to zachovani energie. Minimalne v nem chybi jeste uvazeni rottace telesa. Vysledek mi potom vysel mirne odlisne a z toho potom vysla jinak i podminka pro ten uhel.

V predchozim prispevku jsem psal, ue se mi na tomto postupu neco nezda, ale ted si myslim ze by to takto melo byt spravne a kompletni. (trochu me.prekvapovala limita pro sklon jdouci k nule ale koneckoncu proc b.to tak nemohlo byt)

Bati · 24. 09. 2014 10:25

↑ Brzls:
To je pravda, na rotaci koule jsem zapomněl. Moje řešení tedy odpovídá naolejování podložky.

Pokud mám započíst energii rotace koule, pak tam přibyde člen $\tfrac15mv^2$ , je to tak?
Pak mi ta mezní rychlost vyšla $v_0=\sqrt{gR}(\sqrt{\cos{\alpha}}-2\sqrt{\tfrac57gR}\sin{\tfrac{\alpha}2})$ a mezní úhel pro $v_0=0$ pak $\alpha_0=\arccos{\tfrac{10}{17}}\sim54°$ .

Bati · 24. 09. 2014 11:15

↑ darkorbit:
S tou rychlostí nesouhlasím, resp. si stojím za svým. Moje $v$ je absolutní rychlost, tzn. tečná rychlost, kdy kouli pouštíme z klidu. Celková tečná rychlost v každém okamžiku je tedy $v_0+v$ ( $v$ nezávisí na $v_0$ ).

darkorbit

↑ Bati:

Ja som to dosť zmätočne podal, ospravedlňujem sa. V skutočnosti vychádzam zo ZZE v tvare:
$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}I\omega _{0}^{2}+mgR(1-\cos \alpha)=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}$ ,
kde $v$ je celková rýchlosť, aj keď guľu nepustíme z pokoja
a z predpokladu, že guľa neprešmykuje, teda v každom okamihu platí $\omega R=v$ .
Z tých rovníc vybúšim celkovú rýchlosť a podľa toho, čo si písal, tá je dotyčnicou ku kružnici o polomere $R$ (ak som to správne pochopil). Toto vedie na môj predošlý výsledok.

EDIT:

Pre úpnosť doplním svoj výsledok:
$v^{2}=v^{2}_{0}+\frac{10}{7}gR(1-\cos \alpha )$
$m\frac{v^{2}}{R}=mg\cos \alpha$
$v_{0}\ge \sqrt{\frac{17}{7}gR(\cos \alpha -\frac{10}{17})}$

Bati · 24. 09. 2014 11:41

↑ darkorbit:
Děkuji za upřesnění, teď už dokonale rozumím tvému přístupu a zdá se mi správný.

Nějak mě ale zrazuje intuice - nerozumím proč má představa s přeměnou potenciální energie na pohybovou nefunguje. Ale to je můj problém...

darkorbit · 24. 09. 2014 11:50

↑ Bati:

Nie som si úplne istý, ale môj postup obchádza nutnosť požitia rýchlosti ako vektora, zatiaľ čo tvoj spočíta prírastok rýchlosti, ktorý ale treba rozbiť na zložky (guľa z pokoja padá a k tomu aj ide vpred), zatiaľ čo v_0 má smer vpred. Takto to treba sčítať a dosadiť do odstredivej sily ako vektorový súčet, čo je ale pomerne drsný postup.

Bati · 24. 09. 2014 12:00 — Editoval Bati (24. 09. 2014 12:00)

↑ darkorbit:
Už asi chápu tu chybu...pokud začnu tu celkovou rychlost vyjadřovat v tečném směru, tak $v_0$ bude vypadat čím dál menší, ale ona je konstantní.

Díky.

Xellos · 25. 09. 2014 18:54

Rovina je konecna, gula sa vali len rovno/dole, takze dakedy dojde na jej koniec a opusti ju.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 21. 09. 2014 19:29

Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#2 23. 09. 2014 21:21

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#3 23. 09. 2014 21:58

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#4 23. 09. 2014 22:52

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#5 24. 09. 2014 01:45

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#6 24. 09. 2014 08:45

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#7 24. 09. 2014 10:25

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#8 24. 09. 2014 10:51 — Editoval darkorbit (24. 09. 2014 10:58) Příspěvek uživatele darkorbit byl skryt uživatelem darkorbit. Důvod: Zlá formulácia myšlienok

#9 24. 09. 2014 11:15

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#10 24. 09. 2014 11:26 — Editoval darkorbit (24. 09. 2014 11:56)

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#11 24. 09. 2014 11:41

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#12 24. 09. 2014 11:50

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#13 24. 09. 2014 12:00 — Editoval Bati (24. 09. 2014 12:00)

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

#14 25. 09. 2014 18:54

Re: Přechod z roviny na nakloněnou rovinu

Zápatí