Matematické Fórum

arch14 · 24. 09. 2014 20:27

Zdravim, chtěl bych se zeptat, jak vyřešit tento příklad:
Nalezněte takové číslo a, které leží v oboru Reálných čísel a pro které platí, že rozdíl kořenů rovnice se rovná součinu kořenů této rovnice - $x_{1}-x_{2}=x_{1}\cdot x_{2}$

$2x^{2}-(a+1)x+(a-1)=0$

Lukáš Ba-mat-fyz · 24. 09. 2014 20:41

↑ arch14:

Ahoooj,

podla mna jedina moznost ako to riesit, teda co mna napadla, je cez diskriminant a korene.
Teda pouzijeme vzorce

$D=b^2-4ac$
$x_{1}=\frac{-b\mp \sqrt{D}}{2a}$

a konkretne $x_{1}$ a $x_{2}$ vyjadrime, dosadime a malo by to byt ono:)

zdenek1 · 24. 09. 2014 20:44

↑ arch14:
Za prvé platí $x_1x_2=\frac{c}a$

za druhé $x_1-x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}-\frac{-b-\sqrt D}{2a}=\frac{\sqrt D}{a}$ (pokud $x_1>x_2$ )
Takže konkrétně
$\frac{\sqrt{(a+1)^2-8(a-1)}}{2}=\frac{a-1}{2}$

misaH · 24. 09. 2014 21:20 — Editoval misaH (24. 09. 2014 21:29)

↑ arch14:

Z Viètových vzťahov po úprave rovnice na

$x^2-\frac {a+1}{2}x+\frac {a-1}{2}=0$

dostaneme

$x_1x_2=\frac {\color {red}a\color {black}-1}{2}$ (1)
$x_1+x_2=\frac {a+1}{2}$ (2)

Pretože podľa zadania $x_1x_2=x_1-x_2$ , tak

$x_1-x_2=\frac {a-1}{2}$
$x_1+x_2=\frac {a+1}{2}$

Po sčítaní rovníc $\color {red}a=2x_1$ , odtiaľ $x_1=0,5a$ (3)

Dosadím (3) do (2):

$0,5a+x_2=0,5a+0,5$ , teda $x_2=0,5$ (4)

(4) do (1):

$0,5x_1=x_1-0,5$ , teda $x_1=1$ , potom $\color {red} a=2$

arch14 · 24. 09. 2014 21:38

Děkuji.

zdenek1 · 25. 09. 2014 07:45

↑ misaH:
Krásně poskytnuté kompletní řešení :-(

misaH · 25. 09. 2014 10:56 — Editoval misaH (26. 09. 2014 16:50)

↑ zdenek1:

:-)

Vymazať, zničiť, zastreliť.

Proste ma k tomuto postupu nenapadli vhodné nápovedné kroky.
A dosť medzikrokov je vynechaných.

Ani si nemyslím, že by si zadávateľ môj postup vybral. Ten Tvoj je jednoduchší (mechanickejší) alebo prinajmenšom prehľadnejší a ľahšie sa zapamätá.

Keď som sa s tým už toľko paprala, tak som to sem dala.

Matematické Fórum

#1 24. 09. 2014 20:27

Kvadratická rovnice

#2 24. 09. 2014 20:41

Re: Kvadratická rovnice

#3 24. 09. 2014 20:44

Re: Kvadratická rovnice

#4 24. 09. 2014 21:20 — Editoval misaH (24. 09. 2014 21:29)

Re: Kvadratická rovnice

#5 24. 09. 2014 21:38

Re: Kvadratická rovnice

#6 25. 09. 2014 07:45

Re: Kvadratická rovnice

#7 25. 09. 2014 10:56 — Editoval misaH (26. 09. 2014 16:50)

Re: Kvadratická rovnice

Zápatí