Matematické Fórum

Dr. Manhattan · 25. 09. 2014 19:56

Dobrý den, potřeboval bych pomoct s příkladem.

Zadání: Student dostane test, který má 10 otázek a ke každé z nich jsou možné 3 odpovědi. Vždy je správná pouze 1 odpověď. Jaká je pravděpodobnost, že student odpoví správně aspoň na polovinu otázek, volí-li odpovědi náhodně?

Příklad mi nevyšel, nevěděl jsem, jak tam zakomponovat tu náhodu. Jiné příklady jsem řešil formou kombinační číslo*kombinační číslo/kombinační číslo=procenta. Ve jmenovateli např. počet vadných výrobků na celkový počet výrobků a podobně.
Na internetu jsem si našel různá řešení (např. http://www.e-matematika.cz/stredni-skol … obnost.php), jestli jsou odkazy zakázány, tak se předem omlouvám a smažu to, v základních pravidlech to uvedeno není.
Nejde mi však o to mít řešení, ale chtěl bych to pochopit. Na jakém principu tam funguje ten vzorec podle kterého se to dělá? A lze to vypočítat i jinak?

Předem děkuji moc.

sugyman · 25. 09. 2014 20:09

Vypadá to, že použili tzv. Bernoulliho schéma

Dr. Manhattan · 25. 09. 2014 20:53

A lze to počítat i jinak?

Jj · 25. 09. 2014 22:03 — Editoval Jj (25. 09. 2014 23:09)

↑ Dr. Manhattan:

Dobrý den (řekl bych, že při výpočtu pravděpodobnosti se vždy nějak zvažuje "prvek náhody").

V tomto příkladu jednoduše určíme pravděpodobnost správné odpovědi na jednu otázku jako podíl počtu příznivých možností (1 odpověď je správná) a počtu všech možností (3 možné odpovědi). Tzn.

$p=\frac{1}{3}$

Pravděpodobnost nesprávné odpovědi na otázku (příznivá možnost je výběr nesprávné odpovědi, ty jsou 2) ze tří možných, tj.

$q=\frac{2}{3}$ . Odpověď na otázku může být alternativně jen správná nebo jen nesprávná. Tyto možnosti se navzájem vylučují, takže součet jejich pravděpodobností se musí = 1,
takže $p+q=1 \Rightarrow q = 1-p$ .

Totéž platí pro každou z 10-ti otázek, každá má p = 1/3, q = 2/3. Tudíž - opakujeme 10 nezávislých pokusů, v každém je pravděpodobnost zdaru = 1/3 a nezdaru 2/3 a máme určit pravděpodobnost, že aspoň 5 pokusů bude zdařilých.

X - počet zdařilých pokusů, může nabýt hodnoty 0, 1, 2, ... 10 (náhodná veličina). Nás zajímá pravděpodobnost

$P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + \cdots + P(X=10)$ (pokusy jsou nezávislé, pravděpodobnosti můžeme sčítat).

Bernoulliho schéma (o němž píše kolega sugyman): pravděpodobnost, že se zdaří právě 5 (určených, třeba 1 - 5 pokus) a zbylé (6 - 10) se nezdaří, bude $p^5(1-p)^5$ . Těchto 5 zdařilých pokusů můžeme vybrat (určit) ${10 \choose 5}$ způsoby. Takže

$P(X=5) ={10 \choose 5}p^5(1-p)^5$ a podobně $P(X=6) ={10 \choose 6}p^6(1-p)^4$ atd. Takže

$P(X \ge 5)=\sum_{x=5}^{10}{10 \choose x}p^6(1-p)^4=\sum_{x=5}^{10}{10 \choose x}(1/3)^x(2/3)^{10-x}\doteq 0.2131$

A třeba pravděpodobnost, že student nesprávně odpoví na všechny otázky bude
$P(X=0)={10 \choose 0}(1/3)^0(2/3)^{10}\doteq 0.01734$ , že na všechny odpoví správně
bude $P(X=10)={10 \choose 10}(1/3)^{10}(2/3)^0\doteq 0.00001694$ atd.

Obecněji: n nezávislých pokusů, kde P(zdar) = p, P(nezdar) = 1-p, takže

$P(X = x) ={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}$ - vzorec tzv. binomického rozložení náhodné veličiny X.

Dr. Manhattan · 25. 09. 2014 22:55

Moc děkuji za odpověď, jen se ještě zeptám. V tom odkazu, co jsem posílal ten vzorec utváří trochu jinak. Tak, že nad p mají vždy n-x a nad závorkou x. Je jedno, jak to udělám? Děkuji.

Jj · 25. 09. 2014 23:30

↑ Dr. Manhattan:

Toho jsem si ani nevšiml. Řekl bych, že podle toho vycházejí z počtu nesprávných odpovědí, kterých může být 0-5, aby zbytek byly správné odpovědi. Uvážíme-li, že ${10 \choose x}={10 \choose 10-x}$ , pak dostaneme vzorec, který jsem uvedl.

Dr. Manhattan · 26. 09. 2014 15:51

Moc děkuji za pomoc! Nakonec se mi to povedlo vypočítat samotnému úplně od začátku na začátku Vašeho vysvětlení. Téma zamykám.

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2014 19:56

Pravděpodobnost s prvkem náhody

#2 25. 09. 2014 20:09

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

#3 25. 09. 2014 20:53

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

#4 25. 09. 2014 22:03 — Editoval Jj (25. 09. 2014 23:09)

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

#5 25. 09. 2014 22:55

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

#6 25. 09. 2014 23:30

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

#7 26. 09. 2014 15:51

Re: Pravděpodobnost s prvkem náhody

Zápatí