Matematické Fórum

Dobrý den,
i přesto, že jsem našel několik článků a výsledky ověřil přes Wolfram, chtěl bych si ověřit jeslti tomu rozumím.
Frobeniova věta říká

Systém rovnic Ax = B má řešení právě tehdy, když je hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířené matice systému: rank(A) = rank(A | b).

Dále taky vim, že:

Pokud k matici A přidáme sloupec b, mohou nastat dvě situace: pokud tento nový sloupec je lineární kombinací sloupců matice A, pak se hodnost nezmění. Pokud nebyl lineární kombinací, pak bude hodnost o jedna větší.

Pokud bych chtěl sestavit rovnici, která má NEKONEČNO ŘEŠENÍ, sestavím takovou rovnici, která má hodnost MENŠÍ než POČET NEZNÁMÍCH např:
hodnost matic je 1 řádky jsou linearní kombinací, i rozšířená matice má hodnost 1.

nebo :


Pro právě jedno řešení, bych sestavil takovou rovnici, kde hodnost matice bude k=3 a počet neznámích n=3 (k=n)

I přes to , že sloupec rozšířené matice NENÍ lineární kombinací, tak matice má pouze 3 řádky a hodnost je maximálně 3.

A rovnici, která NEMÁ řešení sestavim tak, že porušim


Matice  rank(A | b) není lineární kombinací, má hodnost o jedna vetší.