Matematické Fórum

Marc27 · 06. 10. 2014 07:35

Dobrý den,mám vyřešit tuto limutu v závislosti na parametru $\alpha$ : $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1+x}}{x^{\alpha }}$ . $\alpha$ byl nejlépe volil rovno jedné,větší a menší než jedna.Bohužel už nevím,jak upravit čitatel,zda celou limitu rozšířit podle vzorce,abych odstranil odmocniny(tam by mi to dělalo problém) nebo zda vytknout nejvyšší mocninu nebo mne napadlo vzít i substituci $t=\sqrt[mn]{1+x}$ ,v tom jsem se také zamotal.Předem děkuji za každou radu.

Rumburak · 06. 10. 2014 09:59

Ahoj.

Můžeme použít následující úpravu:

$\frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1+x}}{x^{\alpha }} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{m}}-(1+x)^{\frac{1}{n}}}{x^{\alpha }} =\\= (1+x)^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{(1+x)^{\beta}-1}{x^{\alpha }} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{n}}}{x^{\alpha -1}}\cdot \frac{(1+x)^{\beta}-1^{\beta}}{x}$ ,

kde $\beta = \frac{1}{m} - \frac{1}{n}$ .

Čemu je rovna $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\beta}-1^{\beta}}{x} = \lim_{h\to0}\frac{(1+h)^{\beta}-1^{\beta}}{h}$ ?

Marc27 · 07. 10. 2014 00:48 — Editoval Marc27 (07. 10. 2014 01:05)

↑ Rumburak:
Připomíná mi to derivaci mocniny. Je to možné?( $\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=nx^{n-1}$ )

Rumburak · 07. 10. 2014 10:41

↑ Marc27:
Výborně!

Takže $\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{\beta}-1^{\beta}}{x} = \beta$ . Odtud podle "mé" úpravy platí

$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1+x}}{x^{\alpha }} = \beta \cdot \lim_{x\to0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{n}}}{x^{\alpha -1}}$ ,

pokud limita vpravo existuje - zbývá vyšetřit už jen ji.

Poznámka: nezabýval jsem se případem $m = n$ , který je triviální, protože zkoumaná funkce pak
konstantně nabývá hodnoty 0. Nicméně např. v nějaká práci, která by byla známkována, ja potřeba uvést
i tento případ.

vanok · 07. 10. 2014 11:29

Pozdravujem
Len mala poznamka. Mozeme este vyuzit, ze ( A pracovat metodou ako vyssie)
$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[m]{1+x}-\sqrt[n]{1+x}}{x^{\alpha }} = \\ \lim_{x\to0} \frac{\sqrt[m]{1+x}-1-(\sqrt[n]{1+x}-1)}{x^{\alpha }}$
Niektorym citatelom, sa mozno zapaci symetrickejsia forma.

Marc27 · 07. 10. 2014 12:46

↑ Rumburak:Super,děkuji oběma ;-) ještě bych se tedy zeptal na jednu věc,stejně bych řešil i limitu $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}$ ?

Rumburak · 07. 10. 2014 13:17

↑ Marc27:

Zde by se mohl hodit postup, který navrhl kolega ↑ vanok:, jehož zdravím.

Marc27 · 07. 10. 2014 13:21 — Editoval Marc27 (07. 10. 2014 14:33)

↑ Rumburak:
A pak tedy rozdělit na dvě limity a počítat každou zvlášť?

Rumburak

↑ Marc27:

Ano, tak bych na to šel.
I zde by bylo vhodné předem separátně vyřešit případy, kdy $a = 0$ nebo $b = 0$ .

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2014 07:35

Limita s parametry

#2 06. 10. 2014 09:59

Re: Limita s parametry

#3 07. 10. 2014 00:08 — Editoval Marc27 (07. 10. 2014 00:09) Příspěvek uživatele Marc27 byl skryt uživatelem Marc27. Důvod: Chyba

#4 07. 10. 2014 00:48 — Editoval Marc27 (07. 10. 2014 01:05)

Re: Limita s parametry

#5 07. 10. 2014 10:41

Re: Limita s parametry

#6 07. 10. 2014 11:29

Re: Limita s parametry

#7 07. 10. 2014 12:46

Re: Limita s parametry

#8 07. 10. 2014 13:17

Re: Limita s parametry

#9 07. 10. 2014 13:21 — Editoval Marc27 (07. 10. 2014 14:33)

Re: Limita s parametry

#10 08. 10. 2014 09:55 — Editoval Rumburak (08. 10. 2014 09:56)

Re: Limita s parametry

Zápatí