Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 10. 2014 10:55

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

ahojte môže existovať reálna funkcia dvoch reálnych premenných taká , že
$\nexists\lim_{\(x,y\)\to\(0,0\)}{F{\(x,y\)}}\nl\(\exists a\in\mathbb{R}\)\(\forall f\in C{\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)}\)\(\(\(\(\forall x\in\mathbb{R}\)\( f{\(x\)}\neq 0\)\)\&\lim_{x\to 0}{f{\(x\)}}=0\)\Rightarrow\lim_{x\to 0}{F{\(x,f{\(x\)}\)}}=a\)$
teda že dvojná limita (relatívna k oboru definície) neexistuje, ale po každej spojitej ceste sú limity rovnaké
čiže pokazí sa to len v úplne všeobecnom prípade premenných x,y?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 06. 10. 2014 11:09

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ jarrro:

Ahoj.

Tvoje formálně vyjádřená podmínka neuvažuje cestu po ose y.  Ale  to by se snadno dalo vyřešit  křivkami
popsanými pomocí parametrických rovnic.  Řešení problému při tomto zpřísnění mne ale (zatím ?) nenapadá.

Offline

 

#3 06. 10. 2014 11:43

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ Rumburak:aha čiže zápis by potom bol
$\nexists\lim_{\(x,y\)\to\(0,0\)}{F{\(x,y\)}}\nl\(\exists a\in\mathbb{R}\)\(\forall f, g\in C{\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)}\)\(\(\(\(\forall t\in\mathbb{R}\)\( f{\(t\)}\neq 0\vee g{\(t\)}\neq 0\)\)\&\lim_{t\to 0}{f{\(t\)}}=0\& \lim_{t\to 0}{g{\(t\)}}=0\)\Rightarrow\lim_{t\to 0}{F{\(f{\(t\)},g{\(t\)}\)}}=a\)$
?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 06. 10. 2014 12:22

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ jarrro:

Ano, tak jsem to myslel.

Offline

 

#5 07. 10. 2014 07:33

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

ďakujem a myslíš si, že by taká funkcia mohla existovať? ja si myslím, že aj áno, lebo funkcie sú niekedy dosť podivné


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#6 07. 10. 2014 11:52

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ jarrro:

Domnívám se, že taková funkce $F$ neeexistuje.  Připadá mi, že ta Tvoje podmínka s cestami po křivkách
je analogická podmínce z Heineho věty.

Když bychom měli posloupnost $(X_n)$ bodů roviny různých od počátku $P$ a takovou, že  $X_n \to P $, př čemž
$\lim_{n \to \infty} F(X_n)$  by neexistovata, pak by nemohla existiovat ani limita funkce $F$ po lomené čáře $X_1 X_2 X_3 ...$
(k posloupnosti  $(X_n)$ můžeme případně přidat i další body tak, aby při dodržení podmínky  $X_n \to P $
žádná z úseček $X_i X_{i+1}$ neprocházela počátkem .)

Offline

 

#7 07. 10. 2014 14:51 — Editoval jarrro (08. 10. 2014 10:00)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ Rumburak:aha díky to ma nenapadlo teda vlastne každá postupnosť bodov sa dá vnoriť do spojitej cesty
čiže z rovnosti limít na každej spojitej ceste vyplýva rovnosť limít na každej rovnako limitnej postupnosti


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 08. 10. 2014 09:48

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: funkcia 2 premenných so zaujímavou vlastnosťou

↑ jarrro:
Mně to také nenapadlo hned.  :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson