Matematické Fórum

lukaszh · 06. 04. 2009 11:33

Milý stredoškoláci, maturanti, atď. Na internete ma upútala celkom šikovná staro-olympiádna rovnica :D Takže riešte rovnicu na množine kladných reálnych čísel:

$\boxed{\HUGE\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\stackrel{\infty}{\cdots}+\frac{1}{x}}}}=x}$

Použil som Marianov huge font :-) lebo to malilinké x by ste tam dole ani nezbadali :-) Ten znak nekonečna je môj kozmetický doplnok, že táto rekurzia sa opakuje nekonečne veľa krát.

mák · 10. 04. 2009 19:14

↑ lukaszh:

Trochu mi to připomíná upravený zlatý řez, takže výsledek je ${{\sqrt{5}+1}\over{2}}-1=0.6180339887498949$

lukaszh · 10. 04. 2009 19:27

↑ mák:
Áno, to je pravda, no čo ak by si nevedel hodnotu zlatého rezu? Iba by sme povedali, že
$\boxed{\HUGE1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\stackrel{\infty}{\cdots}}}}=\rm{zlaty rez}}$
Čo teraz? Tvoje riešenie nie je postačujúce (pre mňa).

jarrro · 10. 04. 2009 19:41

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mák · 10. 04. 2009 20:10

↑ jarrro:
Vypadá to, že máš pravdu. Asi za x lze nahradit zbytek řetězového zlomku, neboť se rovná zase celému výrazu. Ale sám bych na to nepřišel.

lukaszh

↑ jarrro:
Áno, súhlasím, môžeš svoju odpoveď a postup rozviť aby ostatní videli riešenie. Nie každý musí pochopiť tú ekvivalenciu medzi rovnicami. Nemusíme to tu riešiť tak zatajene :-)

Pavel Brožek · 11. 04. 2009 00:42

Ještě bych dodal, že je nutno přidat k hledání řešení rovnice $\frac{1}{1+x}=x$ ještě vyloučení jednoho kořene a dokázání konvergence zlomku. Nejsem si ale jistý, jestli by to pak ještě byla středoškolská úloha.