Matematické Fórum

azbx · 12. 10. 2014 19:29

Zdravím, mám
$s^4-4 s^3-3 s^2+10 s+8 = 0$
, podle wolfram alpha doatnu že s= -1 , 2, 4

můžete mi prosím pomoci jakým způsobem se to z toho dokáže vytknout?
Díky moc za aspoň postupnou pomoc v pochopení.

Freedy · 12. 10. 2014 19:50

Ahoj,

v případě takovýchto rovnic, se obvykle zkoušejí kořeny hádat. Lze ukázat že pokud polynom na levé straně má nějaké celočíselné kořeny, poté to jsou dělitelé absolutního členu. Lze odzkoušet všechny dělitele a postupně polynom dělit "nulou" po vyloučení příslušných kořenů.

Dle mého názoru, je tento příklad pěkný na rozklad. Stačí si povšimnout, že když z prvních dvou členů vytkneme s^3 dostáváme:
$s^4-4s^3=s^3(s-4)$ z druhých dvou uděláme:
$-3s^2+10s = -3(s-4)-2s$ a z posledních dvou uděláme:
$-2s+8=-2(s-4)$
Pokud to poskládáme dostáváme přepis levé strany jako:
$s^4-4s^3-3s^2+10s+8 = s^3(s-4)-3s(s-4)-2(s-4)$ vytkneme (s-4) a dostáváme:
$(s-4)(s^3-3s-2) =0$ jeden kořen je tedy s = 4.
Z polynomu lze rovněž jednoduchými úpravami dojít:
$s^3-3s-2=s(s^2-4)+(s-2)=s(s-2)(s+2)+(s-2)$ z čehož zase plyne další kořen po vytknutí (s-2)
$s(s-2)(s+2)+(s-2)=(s-2)(s^2+2s+1)$ takže máme:
$(s-4)(s-2)(s^2+2s+1)=0$ ta poslední závorka je čtverec, což už není nic těžkého.

azbx · 12. 10. 2014 20:08

Děkuji :)

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2014 19:29

rovnice

#2 12. 10. 2014 19:50

Re: rovnice

#3 12. 10. 2014 20:08

Re: rovnice

Zápatí