Matematické Fórum

Abbysek · 12. 10. 2014 20:34

Zdravím,

Počítam aktuálne komplexné čísla a mám s týmto príkladom problém:

$\sqrt[4]{-8-8\sqrt{3}i}$

Pomocou Moiverovej vety som dokázal vypočítať jeden koreň príkladu: $1+\sqrt{3}i$

Problem je v tom, ze neviem ako vypocitat zvysne korene...

Dakujem za pomoc

Freedy · 12. 10. 2014 20:40

Ahoj, tak když si spočítal jeden, tak zbylé už nebude problém ne?
Číslo pod odmocninou si přepíšeš do goniometrického tvaru:
$-8-8\sqrt{3}\text{i}=16(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{i})=16(\cos \frac{4\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{3})$
Odmocnina z komplexního čísla v gonio. tvaru je definována jako:
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+\text{i}\sin \frac{\varphi +2k\pi }{2}),k=0,1,2..(n-1)$

Proto tam pouze dosadíš to co znáš:
$\sqrt[4]{16(\cos \frac{4\pi }{3}+\text{i}\sin \frac{4\pi }{3})}=2(\cos \frac{\frac{4\pi }{3}+2k\pi }{4}+\text{i}\sin \frac{\frac{4\pi }{3}+2k\pi }{4})$ a dosazuješ postupně k = 0,1,2,3

Abbysek · 12. 10. 2014 20:48

dAKUJEM, nevedel som, ze mam dosadzat k tam :).

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2014 20:34

Komplexné čísla, zvyšné korene.

#2 12. 10. 2014 20:40

Re: Komplexné čísla, zvyšné korene.

#3 12. 10. 2014 20:48

Re: Komplexné čísla, zvyšné korene.

Zápatí