Matematické Fórum

358675 · 14. 10. 2014 00:18 — Editoval 358675 (14. 10. 2014 09:38)

Snažně prosím matematickou první pomoc, hodní lidé pomozte dle vašich schopností :) Už nad těmihle příklady zápasím několikerý den a na nic moc jsem nepřišel...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

http://www.imageupload.co.uk/images/2014/10/13/2c9Fgd.png

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

http://www.imageupload.co.uk/images/2014/10/13/32nxwg.png

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Omlouvám se za wall of text a "nematematičnost". A ještě bych dodatečně poprosil ukázat chyby ve formulaci/jazyku/matematické notaci. Zkusil jsem naklikat LaTeX abych nebyl za úplného blbce =), děkuju všem předem

vanok · 14. 10. 2014 09:43

Ahoj ↑ 358675:,
Najprv ti pripomeniem jedno pravidlo fora:
Jedno vlakno= jeden problem.
Tak tu pracuje na prvej otazke, tie dalsie daj do novych vlakien.

Zda sa ze chces dokazat ako prve, ze medzi realnymi x, y ( x<y) existuje aspon jedno rationalne r.
Tak ako to dokazat?
Mozes dat argumenty, ze existuje prirodzene n take, ze $n(y-x)>1$ .
Na pokracovanie. ....

Rumburak

↑ 358675:

Vyjádřím se pouze k té první úloze. Na ostatní si založ nová vlákna (vi Pravidla fora).

Není těžké dokázat, že

(1) aspoň jedno iracionální číslo existuje: takovým je například $\sqrt{2} \in (1, 2)$ ,

(2) podíl dvou racionálních čísel (z nichž dělitel je nenulový) je racionální číslo .

Z (2) plyne, že

(3) součin iracionálního čísla s nenulovým racionálním číslem je iracionální číslo.

Pokud již víme, že množina všech rac. čísel je hustá v množině všech reál. čísel, můžeme postupovat takto:

Je-li $x < y$ , potom $\frac{x}{\sqrt{2}} < \frac{y}{\sqrt{2}}$ (využíváme, že $\sqrt{2}>0$ ). Existuje tedy racionální $r \ne 0$ takové,
že $\frac{x}{\sqrt{2}} < r < \frac{y}{\sqrt{2}}$ . Tuto nerovnost vynásobíme číslem $\sqrt{2}>0$ a máme $x < r\sqrt{2} < y$ .
Při tom číslo $z =r\sqrt{2}$ je podle (3) iracionální .

358675 · 14. 10. 2014 10:11

Ahoj, promiň všiml jsem si že ve fóru tady někdy ty příklady rozděluje tak jsem si dvakrát prošel pravidla a nic takového jsem nenašel, ale hned to napravím.

$n>\frac{1}{y-x}$ takhle jsme si dokázali že $(\forall x,y\in \mathbb{R})(x<y\Rightarrow (\exists x\in \mathbb{Q})(x<z<y))$ což jsme prý vycházeli z archimédovy vlastnosti, ale nechápu jak z "vždycky najdete přirozené číslo které je $n>|x|$ " dostaneme $n>\frac{1}{y-x}$

Rumburak

↑ 358675:
Ahoj.

Zdravím též kolegu ↑ vanok:.

Archimedova vlastnost říká, že ke každé usp. dvojici $(K, \varepsilon)$ kladných čísel (ať je při tom $K$ jakkoliv velké a
$\varepsilon$ jakkoliv blízké nule) existuje přirozené číslo $n$ takové, že $n\varepsilon > K$ .

Dokazujme, že v každém otevřeném intervalu $(x, y)$ existuje rac. číslo.
Nejprve pro větší jednoduchost předpokládejme, že $0 < x < y$ .
Idea: pomocí Arch. vlastnosti najdeme přirozené číslo $n$ takové, aby interval $(nx, ny)$ měl délku ostře větší než 1.
Co můžeme o takovém intervalu usoudit ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nechápu jak z "vždycky najdete přirozené číslo které je $n>|x|$ " dostaneme $n>\frac{1}{y-x}$

Jednoduše: ve výroku

"vždycky najdete přirozené číslo které je $n>|x|$ "

nahradíme číslo $|x|$ kladným číslem $\frac{1}{y-x}$ (když vždycky, tak vždycky :-) ) .

vanok · 14. 10. 2014 14:32

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Pochopitelne postupy riesenia tohto cvicenia su zalozene na tych istych zakladoch.
Osobne som to rozlozil na tieto etapy ( dava to tu, lebo to moze byt jeden mozny navod, i ked ↑ Rumburak: je blizka varianta )
A) medzi dvomy roznymy realnymi je vzdy aspon jedno rationalne cislo
B) cize ich mame nekonecne vela medzi kazdou dvojicou roznych realnych cisiel.
C) mozme vyuzit, ze $1<\sqrt 2<2$
D1) pre kazdu dvojicu rationalnich cisiel $r_1,r_2$ , $0<r_1<r_2$ ,
existuju dve kladne rationalne cisla $a,b$ , take, ze $r_1=a+b$ , $r_2=2a+b$
( vdaka C) $a<a \sqrt 2<2a$ .... z predoslych troch cisiel jedine .... Je iracionalne )....
D2)...
Tak dobre pokracovanie.