Matematické Fórum

Kája2 · 15. 10. 2014 13:53

Ahoj,
prosím Vás, mohl by mi někdo jen osvětlit poslední krok v důkazu této věty? Nechť $\emptyset \not = K \subset \mathbb{Z}$ a $K$ je shora omezená,potom $\text{supK}\in \mathbb{Z}$ . Ukáže se, že $\text{maxK}=\text{supK}$ . Důkaz je proveden sporem: Nechť $\text{supK}\not \in K$ , zvolme $m' = \text{supK}-1$ , pak $\exists x_{1}\in K,x_{1}>m'\wedge x_{1}<\text{supK}$ (neboť $\text{supK}\not \in K$ , pak ovšem $\exists x_{2}\in K,x_{2}>x_{1}$ , tedy $\text{supK}-1<x_{1}<x_{2}<\text{supK}$ a zároveň $x_{1}-x_{2}\in \mathbb{Z}$ .Což je spor. Právě mi není jasné, jak se příslo na to $x_{1}-x_{2}\in \mathbb{Z}$ a proč se tento krok v důkazu vůbec prováděl.

Formol · 15. 10. 2014 15:17

↑ Kája2:
Ahoj,
rozdíl x1-x2 je rozdíl celých čísel (z předpokladů, že x1 i x2 patří do K), tedy musí být celý. Spor je v tom, že nerovnost sup K - 1 < x1 < x2 < sup K nemůže být splněna pro celá x1 a x2 - a ten poslední krok vlastně říká, proč nemůže být nerovnost splněna (jde to napsat i jinak a imho průhledněji - prostě mezi necelé X a X+1 se vejde právě jedno celé číslo).

Kája2 · 15. 10. 2014 15:21

↑ Formol:
Aha, tak takto. Děkuji Vám moc ;-)

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 13:53

Suprémum množiny - důkaz

#2 15. 10. 2014 15:17

Re: Suprémum množiny - důkaz

#3 15. 10. 2014 15:21

Re: Suprémum množiny - důkaz

Zápatí