Matematické Fórum

Paulo · 16. 10. 2014 19:34

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím:

Máme danou funkci
$f_n(x) = \frac{x^n (1-x)^n}{n!}$
která lze zapsat ve tvaru
$f_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{i = n}^{2n} c_i x^i$
kde $c_i$ jsou celá čísla a platí že
$f_{n}^{(k)} (0) = 0 \quad pro \ k<n \ a \ k>2n$
pokud je $n \leq k \leq 2n$ , pak platí
$f_{n}^{(k)} (0) = \frac{k!}{n!}c_k$

Mohl by mi někdo vysvětlit proč platí poslední rovnost? Nevím jak to vypočítat. Děkuji

vanok · 16. 10. 2014 20:18 — Editoval vanok (16. 10. 2014 20:18)

Ahoj ↑ Paulo:,
Tu netreba vela dokazovat. Staci skor pozorovat tvoju funkciu.
Je polynomialna stupna 2n, je sucet clenov medzi $x^n$ a $x^{2n}$
Ako to presne pisés vyssie $f_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{i = n}^{2n} c_i x^i$

$f_{n}^{(k)} (0) = 0 \quad pro \ k<n \ a \ k>2n$ toto je ozaj okamzite viditelne
( derivacia k>2n je nulova, tak...
pre k<n vsetky cleny derivacie maju v kazdom clene x, tak su to nulove cleny , pre x=0,... ).
Tuto $n \leq k \leq 2n$ , pre take k, podla definicie f, derivacia radu k ma jediny nenulovy clen $\frac{k!}{n!}c_k$ , ktory nie nic ine ako $f_{n}^{(k)} (0)$ ( clen ktory ma pre vychodny clen $\frac{1}{n!} c_k x^k$ z funkcie f).

Poznamka: v jednom probleme, o irationalnych cislach, som tu na fore pouzil podobnu funkciu.

Paulo · 16. 10. 2014 21:17

↑ vanok:

Už je mi to jasné, děkuju.

Paulo · 17. 10. 2014 15:42

Měl bych ještě jeden podobný dotaz, abych nezakládal nové téma tak ho přidám sem.

Máme funkci

$f(x)=\frac{x^{p-1} (1-x)^p}{(p-1)!}$

kde p je kladné číslo, pro $k$ z intervalu $p-1 \leq k \leq 2p-1$ platí

$f^{(k)}(0) = \frac{k!}{(p-1)!} {p\choose k-p+1}(-1)^{k-p+1}$

nedaří se mi to vypočíst. Děkuji

vanok · 17. 10. 2014 18:12

↑ Paulo:,
Skus tu istu metodu.
Mozes napisat $f(x)=\frac{x^{p-1} (1-x)^p}{(p-1)!}$ ? Clen po clene.
Urci jediny nenulovy clen derivacie radu k, co nema x.
To ti da hladany $f^{(k)}(0)$

Paulo · 17. 10. 2014 20:25

↑ vanok:

Nevím pořádně jak mám danou funkci derivovat.

vanok · 18. 10. 2014 00:40 — Editoval vanok (18. 10. 2014 00:41)

Vsak ako v predoslej funkcii, aj tu mas funkciu f co je sucet clenov typu $a_ix^i$
Pre clen $a_k x^k$ , jeho derivacia radu k je $k! a_k$ , vsetky ine cleny su v tej derivacie alebo nulove, alebo maju faktor $x^j$ ....

Skus si to visualizovat na nejakom polynôme daneho typu....

Staci?

Paulo · 18. 10. 2014 13:03

↑ vanok:

Takže tato funkce

$f(x) = \frac{x^{p-1}(1-x)^p}{(p-1)!}$

se dá zapsat jako

$\frac{1}{(p-1)!} \sum c_i x^i$

ale nevím jak určit odkud začít sčítat

vanok · 18. 10. 2014 13:41

Ak v tom sucte chces mat len cleny co mozu byt nenulove tak ide o sumu medzi p-1 a 2p-1.( cize $a_i= \frac{1}{(p-1)!} c_i$ ak porovnavas dve vyjadrenia.

Mozes postupovat tak, ze pouzijes jednoducho binonicku vetu....
( nechapem ako v tejto casti mozes mat problem, lebo tento isty postup bol pouzity v prvej casti riesenia)

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2014 19:34

"ká-tá" derivace funkce v bodě

#2 16. 10. 2014 20:18 — Editoval vanok (16. 10. 2014 20:18)

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#3 16. 10. 2014 21:17

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#4 17. 10. 2014 15:42

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#5 17. 10. 2014 18:12

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#6 17. 10. 2014 20:25

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#7 18. 10. 2014 00:40 — Editoval vanok (18. 10. 2014 00:41)

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#8 18. 10. 2014 13:03

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

#9 18. 10. 2014 13:41

Re: "ká-tá" derivace funkce v bodě

Zápatí