Matematické Fórum

↑ Jonny2511:
Zdravím,
k tomu se můžeš dostat třeba úvahou, že tě zajímá, jaká funkce může mít takový tvar, že součet jejich derivací vynásobených polynomem bude konstatntní funkce. Když se nad tím zamyslíš, tak bys měl dojít k tomu, že to, co by se dalo vytknout z , a musí být nanejvýš konstanta - a z "normálních" funkcí se tak chová třeba polynom. Dále, a to je podstatnější, polynom derivací snižuje řád - takže pokud je u polynom, mají , a stejný řád. Takže je na místě zkusit, jestli to je skutečně polynom.

Dále je zajímavé se zamyslet nad řádem polynomu. má jistě nulový lineární a absolutní člen a má nulový absolutní člen. Druhý konec, nejvyšší možný člen, je docela zrada. Předpokládej, že u je polynom řádu n>0 s koeficientem an. Pak bude pro koeficienty u nejvyššího členu platit (pokud dobře počítám zpaměti):


Pokud jsem ani tady nestřelil pudla, tak pro nenulové an platí rovnost jedině pro n=1. Snadno lze ověřit, že pro n=0 (konstantní funkce) lze nalézt u, které by bylo řešením rovnice.

Tedy řešení je třeba hledat jako polynom prvního stupně.

Zajímavá by byla otázka, jestli nejsou i jiná řešení - a na tu odpověď neznám...