Matematické Fórum

kukulkan · 08. 04. 2009 20:01

prosím o pomoc s tímto příladem. Napište obecnou rovnici kružnice , která prochází boda A[5,4] a B[7,0]. Střed je na ose X.

joker · 08. 04. 2009 21:23 — Editoval joker (08. 04. 2009 21:25)

$A=[5;4]$
$B=[7;0]$
$S=[n;0]$
$|AS|=|BS|$

*****

$\sqrt{(n-5)^2+16}=\sqrt{(n-7)^2+0}$
$n^2-10n+25+16=n^2-14n+49$
$4n=8$
$n=2$

*****

$|AS|=r$
$r=\sqrt{(2-5)^2+(0-4)^2}=5$

*****

Obecná rovnice kružnice:

$k: (x-2)^2+y^2=25$

marnes · 08. 04. 2009 21:23

↑ kukulkan:
Dosaď do obecné rovnice body A a B. Budeš mít dvě rovnice o neznámých xs a ys - souřadnice středu,, pak použiješ poslední info, ato že leží S na ose x, tzn, že ys=0. Vypočítáš xs. Poloměr je pak vzdálenost třeba AS

gadgetka · 08. 04. 2009 21:25

středová rovnice kružnice:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$

Střed kružnice je průsečíkem osy x a osy (označíme např. jako přímku q) úsečky AB . Středem úsečky AB je bod P[\frac{5+7}{2},\frac{4+0}{2}]=[6;2]. Pro směrnice přímky q a úsečky AB platí $k_1\cdot k_2=-1$

$y-y_A=\frac{y_P-y_A}{x_P-x_A}\cdot (x-x_A)\nly-4=\frac{2-4}{6-5}\cdot (x-5)\nly-4=\frac{-2}{1}\cdot (x-5)\nly-4=-2x+10\nly=-2x+14=>k_1=-2\nlk_1\cdot k_2=-1\nlk_2=\frac{1}{2}$

Přímka q (osa úsečky AB) má rovnici $y=\frac{1}{2}x+q$ a prochází bodem $P[6;2]$ :

$2=\frac{1}{2}\cdot 6+q\nl-1=q$

Vyřešíme průsečík přímky q: $y=\frac{1}{2}x-1$ a osy x: $y=0$

$\frac{1}{2}x-1=0\nlx=2$

Souřadnice středu kružnice jsou $S[2;0]$ .

Poloměr kružnice $r=|SA|$
$r=\sqrt{(2-5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Rovnice kružnice:
$(x-2)^2+y^2=25$

Cheop · 09. 04. 2009 07:09

↑ kukulkan:
Tady snad na doplnění obrázek
http://forum.matweb.cz/upload/500-aa.JPG

Petuhik · 27. 11. 2009 15:30

prosím o pomoc s příkladem, kdy se majá v závislosti na parametru a vyjádřit průsečíky přímky p: y = ax +a s kružnicí k: x na 2 + y na 2 = 1. Já jsem si napřed dosadila p do k a vyšla mi kvadratická rovnice s tím parametrem a. Ale nevím, jak teď dál postupovat, abych našla všechny průsečíky. Prosím poraďte mi. děkuji

zdenek1

↑ Petuhik:
$x^2+(ax+a)^2=1$
$(a^2+1)x^2+2a^2x+a^2-1=0$
$\frac D4=a^4-(a^2+1)(a^2-1)=1$
$x=\frac{-a^2\pm1}{a^2+1}$
$x_1=-1$ $y_1=0$
$x_2=\frac{1-a^2}{a^2+1}$ , $y_2=\frac{2a}{a^2+1}$

Platí pro každé $a\in\mathbb{R}$