Matematické Fórum

Marc27 · 25. 10. 2014 15:08

Dobrý den,
prosím Vás, rád bych se zeptal, na důkaz věty: Je-li funkce $f$ ryze monotonní na $M\subset \mathbb{R}$ , pak je prostá. Napadlo mne toto. Funkce je ryze monotonní (uvedu příklad pro rostoucí fci),tj. pro $\forall x_{1}<x_{2}\in M$ platí, že $f(x_{1})<f(x_{2})$ , tedy $x_{1}\not =x_{2}$ a jelikož platí, že $f(x_{1})<f(x_{2})$ , pak je nutně $f(x_{1})\not =f(x_{2})$ a tudíž je funkce $f$ prostá. Obdobně pro klesající. Mám ten důkaz správně?

Bati · 25. 10. 2014 15:40

Zdravím, to není správně, neboť podmínku prostosti je třeba splnit pro všechna $x_1\neq x_2$ , kdežto v uvedeném důkaze je to jen pro $x_1<x_2$ .
Aby to bylo korektní, stačí to jen trochu přeformulovat - začít z $x_1\neq x_2$ a dojít k $f(x_1)\neq f(x_2)$ . Také lze postupovat sporem.

Marc27 · 25. 10. 2014 15:55

↑ Bati:
Takže by to bylo takto: pro věchna $x_{1}\not =x_{2}$ , pak pro $x_{1}<x_{2}$ je buďto $f(x_{1})<f(x_{2})$ a funkce je rostoucí nebo $f(x_{1})>f(x_{2})$ a je funkce je klesající, tedy funkce je ryze monotonní a platí. že $f(x_{1})\not =f(x_{2})$ a funkce je tedy prostá. Je to už takto správně?

Brano · 25. 10. 2014 16:41

↑ Marc27:
ano, len to na co chcel upozornit bati je to, ze formalne by si mal napisat.

Ak $x_1\not=x_2$ potom bud
a) $x_1<x_2$ , alebo b) $x_1>x_2$ a rozobrat oba pripady osve alebo rozobrat iba jeden a povedat, ze ten druhy je analogicky

Co si zrejme aj tak myslel, len kym sa to ucis v skole, tak treba aspon zo zaciatku dbat na detaily.

Marc27 · 25. 10. 2014 17:15

↑ Brano:
Super, děkuji moc ;-)

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2014 15:08

Důkaz věty

#2 25. 10. 2014 15:40

Re: Důkaz věty

#3 25. 10. 2014 15:55

Re: Důkaz věty

#4 25. 10. 2014 16:41

Re: Důkaz věty

#5 25. 10. 2014 17:15

Re: Důkaz věty

Zápatí