Matematické Fórum

Radon · 10. 04. 2009 14:58

Zdravím můžete mi někdo poradit s tímto příkladem, matika mi nikdy nešla :)
Je dána funkce:
------------------------------
y = x^3 + 3x^2 - 4x
--------------------------------

a) určete definiční obor a obor hodnot funkce -->>>> Podle mě D(f)=R, H(f)=R
b) zjistěte, zda zadaná funkce je nebo není sudá či lichá; své rozhodnutí zdůvodněte
c) vypočítejte limity zleva a zprava pro x blížící se k hranicím definičního oboru

Moc díky za každou radu

O.o · 10. 04. 2009 15:36 — Editoval O.o (10. 04. 2009 15:41)

↑ Radon:

Ahoj -),

ten definiční obor a obor hodnot máš snad správně, krajními hodnotami pro limity se myslí v tomto případě plus a minus nekonečno, tedy limity:

${\lim}\limits_{x \to \pm\infty}x^3+3x^2-4x={\lim}\limits_{x \to \pm\infty}x(x^2+3x-4)={\lim}\limits_{x \to \pm\infty}x(x(x+3)-4) \nl \Rightarrow {\lim}\limits_{x \to +\infty_-}f(x)= \infty \nl \Rightarrow {\lim}\limits_{x \to -\infty_+}f(x)= -\infty$

Jen krátce, kdybys zkoušel rovnou "dosazovat" nekonečno (minus/plus), tak dostaneš neurčittý výraz (nekonečno minus nekonečno není nula, respk. nevíme co to je), proto to vytýkání, protože násobením nekonečen už není takový problém a chová se stejně jako u reálných čísel (tedy, nejsem žádný matematik, tak to ber s rezervou, myslím tím, že když mi vyjde nekonečno krát minus nekonečno, tak to dává dohromady minus nekonečno, nic víc za tím nehledejte prosím ;-)).

Limity zprava a zleva (já bych to asi ani neoznačoval, ale doplnil jsem to tam podle zadání): je logické, že do plus nekonečna nemohu jít zprava a naopak do minus nekonečna nemohu jít zleva, že? ;-)

Sudost/lichost, platí jednoduchá záležitost: f(-x)=f(x) - funkce je sudá; f(-x)=-f(x) - funkce je lichá (funkce nemusí být ani lichá ani sudá; sudá ne lichá; lichá ne sudá; lichá a sudá), tedy jdeem zjišťovat:

$f(x)=x^3+3x^2-4x \nl f(-x)=(-x)^3+3(-x)^2-4(-x)=-x^3+3x^2+4x=-(x^3-3x^2-4x) \ \Rightarrow \ f(-x) \ne f(x) \ \wedge \ f(-x) \ne -f(x)$
Funkce není ani sudá ani lichá.

Teď si to ovšem řádně zkontroluj, protože já sem jednou za čas dávám špatně vyřešené příklady (ta teorie okolo je snad dobře ;-)) :-).

Rumburak

Výraz definující funkci

f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x

má smysl pro každou reálnou (dokonce i komplexní) hodnotu proměnné x. Vzhledem k tomu, že máme počítat limity "zprava a zleva"
k hranicím def. oboru, lze usuzovat, že fce je míněna jako funkce reálné proměnné, tedy lze příjmout, že D(f) = R.

Otázka po oboru hodnot je ekvivalentní otázce "Pro které hodnoty parametru m existuje řešení rovnice f(x) = m v množině D(f) ?"
Uvedená rovnice je ale 3. stupně a její řešení se (až na některé speciální případy) vymyká látce střední školy. Tuto otázku musíme
vyřešit poněkud oklikou - metodami natematické analýzy. V ní existuje věta, které říká že:

Je-li funkce f : J -----> R , kde J je interval v R, spojitá, potom množina f(J), tedy obraz intervalu J, je rovněž interval.

(Věta je sice zřejmá z nákresu, ale rozhodně není triviální.) Naše funkce spojitá je (neboť jde o polynom v proměnné x),
R =(-oo, +oo) je interval, proto množina H(f) = f(R) je interval, i když prozatím ještě není jasné, který. To zjistíme tak, že
spočítáme limity v -oo a +oo . Prvá vyjde -oo a druhá +oo . DÍKY TAKOVĚMUTO VÝSLEDKU lze usoudit, že každé reálné číslo
leží v f(R), tedy H(f) = R.

Sudá je fce f tehdy, když pro každé x z D(f) je též -x v D(f) a platí f(-x) = f(x).

Lichá je fce f tehdy, když pro každé x z D(f) je též -x v D(f) a platí f(-x) = -f(x).

Naše fce f nespňuje žádnou z těchto podmínek, neboť např, f(-1) = 6 , zatímco f(1) = 0. Takže není ani sudá, ani lichá.

K výpočtu limit: Tvar funkce pro x<> 0 upravím na
$f(x)=x^3(1+\frac3x-\frac{4}{x^2})$ .
Pro x --> +oo jde závorka k 1 a x^3 k +oo , jejich součin tedy k +oo . Obdobnou úvahou zjistíme zbývající limitu.

EDIT: Patlal jsem se s tím trochu déle, než jsem sám původně chtěl, takže mne O.o se svojí odpovědí mezitím předběhl.

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2009 14:58

D(f), H(f)

#2 10. 04. 2009 15:36 — Editoval O.o (10. 04. 2009 15:41)

Re: D(f), H(f)

#3 10. 04. 2009 15:58 — Editoval Rumburak (10. 04. 2009 16:06)

Re: D(f), H(f)

Zápatí