Matematické Fórum

ironhide

Zdravím,

Mám následující limitu:

$\lim_{n\to\infty }\frac{\sqrt[3]{n^{2}-sin(n!)}}{n+1}=0$

A mám dokázat její existenci z definice limity, je následující postup správný?

1.

$|\frac{\sqrt[3]{n^{2}-sin(n!)}}{n+1}-0|<\varepsilon$

2. Výraz v nerovnici zjednoduším na ekvivalentní limitu

$\frac{\sqrt[3]{n^{2}-sin(n!)}}{n+1}<\varepsilon\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{n}}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n}<\varepsilon$

3. Vyřeším nerovnici pro n

$n > \frac{1}{\varepsilon }$

4. Stanovím n0 (tady moc nechápu proč se přičítá k 1/epsilon jednička a více?)

$n_{0} =\frac{1}{\varepsilon }+1$

5. Jakékoliv n větší než n0 tedy musí nezbytně splňovat podmínku:

$n > n_{0}\ge \frac{1}{\varepsilon }$

$n > \frac{1}{\varepsilon }$

6. Z čehož vyplývá:

$|\frac{\sqrt[3]{n^{2}-sin(n!)}}{n+1}-0|=|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon }}=\varepsilon$

$|\frac{\sqrt[3]{n^{2}-sin(n!)}}{n+1}-0|<\varepsilon$

Předem díky moc za odpověď a rady.

Rumburak · 29. 10. 2014 10:59

↑ ironhide:

Ahoj.

Tvůj postup jako celek není správný.
Máš za úkol dokázat, že k libovolnému $\varepsilon > 0$ existuje přirozené číslo $n_0$ (závislé na $\varepsilon$ ) mající tu vlastnost, že
pro každé přirozené číslo $n > n_0$ je

(1) $|\frac{\sqrt[3]{n^{2}-\sin(n!)}}{n+1}-0|<\varepsilon$ .

Důkaz musí začít předpokladem, že $\varepsilon > 0$ . Dále je potřeba zabývat se nerovnicí (1) s neznámou $n$ a parametrem $\varepsilon$
a ukázat, že množina $M_{\varepsilon}$ všech jejích řešení obsahuje neprázdnou podmnožinu tvaru

$\{n_0 + 1, n_0 + 2, n_0 + 3, ...\}$

pro vhodné přirozené číslo $n_0$ .

Bude užitečné začít postupovat obdobně, jako kdybychom chtěli řešit nerovnici (1) s neznámou $n$ .

ironhide · 29. 10. 2014 11:07

↑ Rumburak:

No nazdar, takže musím rešit nerovnici (1) bez zjednodušení?

Rumburak

↑ ironhide:

Řešit nerovnici znamená najít VŠECHNA její řešení, což by zde byl opravdu nadlidský úkol.
Nám postačí jít touto cestou "jen kousek" .

Nerovnice (1) je v oboru přirozených čísel {1, 2, 3, ... } ekvivalentní s nerovnicí

(2) $\frac{n^{2}-\sin(n!)}{(n+1)^3}<\varepsilon^3$ ,

Dále platí $-1 \le -\sin(n!) \le 1$ , takže bude-li splněno

(3) $\frac{n^{2}+1}{(n+1)^3}<\varepsilon^3$ ,

pak bude splněno i (2). Tudíž s požadovaným důkazem budeme hotovi, když ukážeme, že již
množina všech řešení nerovnice (3) obsahuje podmnožinu tvaru $\{n_0 + 1, n_0 + 2, n_0 + 3, ...\}$ .

ironhide · 29. 10. 2014 17:07

↑ Rumburak:

Já nějak úplně nechápu jak lze vyrobit z výrazu $n^{2}-Sin(n!)$ výraz $n^{2}+1$ , když sinus konverguje ke dvoum hromadným bodům?

Předem díky moc za odopvěď.

Rumburak · 29. 10. 2014 18:01

↑ ironhide:

K nerovnici $-1 \le -\sin(n!) \le 1$ , která je, doufám, zřejmá, přičteme $n^2$ a tím dostaneme

$n^2-1 \le n^2-\sin(n!) \le n^2+1$ ,
$\frac{n^{2}-1}{(n+1)^3} \le \frac{n^{2}-\sin(n!)}{(n+1)^3}\le \frac{n^{2}+1}{(n+1)^3}$ .

Prostřední člen nerovnosti je v oboru hodnot proměnné $n$ nezáporný a lze ji ltedy redukovat na

$0 \le \frac{n^{2}-\sin(n!)}{(n+1)^3}\le \frac{n^{2}+1}{(n+1)^3}$ .

Dokážeme-li, že zde limita pravého "křídla" je 0, bude to podle věty o dvou policajtech znamenat,
že i "prostředek" má limitu 0. Snadno to pak namontujeme na definici limity, pokud je to tak
požadováno.

Tvrzení, že posloupnost $(\sin (n!))$ má pouze dvě hromadné hodnoty, se nezakládá na pravdě.