Matematické Fórum

Kája2 · 29. 10. 2014 01:57

Ahoj,
mám dotaz na suprémum a infímum posloupnosti $n^{2}-19n+8$ . Ve výsledcích je uvedeno, že suprémum ani infimum neexistují. U supréma jsem to tedy pochopil tak, že bereme v potaz pouze supréma pouze $\mathbb{R}$ a nikoliv $\mathbb{R}^{*}$ , kde by bylo suprémum $+\infty$ . U nfíma jsem postupoval takto: Nejprve jsem na to šel přes funkcí $x^{2}-19x+8$ a určil vrchol paraboly $V[\frac{19}{2},-\frac{329}{4}]$ . Poté jsem chtěl určit pro jaké $n$ je $a_{n}=-\frac{329}{4}$ , tedy $-\frac{329}{4}=n^2-19n+8$ odkud by vyšlo $\frac{19}{2}$ ,což ovšem není přirozené číslo. Zkoušel jsem tedy dvě nejbližší přirozená čísla 9 a 10 a pro tato čísla mi vyšel shodný výsledek -82. Je toto tedy důvodem neexistence infíma?

Rumburak

↑ Kája2:

Ahoj.

V podstatě jsi na to šel správně. Ale lze postupovat i mírně jinak:

Pro $a_n := n^2-19n+8$ , kde $n$ probíhá množinu všech přirozených čísel, metodou doplnění na čtvetec
dostáváme

(1) $a_n = $ n^2-2\cdot \frac {19}{2}\cdot n + \(\frac {19}{2}$^2\) - $\frac {19}{2}$^2 +8 = $n-\frac {19}{2}$^2 + 8 - $\frac {19}{2}$^2$ ,

což nám pomůže. Je zřejmé, že výraz (1) za uvedených podmínek na $n$ není shora omezen, zatímco své
nejmenší hodnoty nabývá pro $n \in \{9, 10\}$ , což jsou přirozená čísla.
Takže supremum posloupnosti $(a_n)$ vzhledem k $\mathbb{R}^*$ je $+\infty$ , infimum její nejmenší hodnota, tj. $a_9$ resp. $a_{10}$ .

Pakliže je ve výsledkách pro tuto úlohu uvedeno, že supremum ani infimum neexistuje, pak je v učebnici chyba .
Ale stává se i to, že si student nepřečetl zadání úlohy dosti pozorně a přehlédl v něm nějakou past.

vanok · 29. 10. 2014 11:30

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Poznamka :
Najprv ako poznamenal kolega ↑ Rumburak:, cvicenie ma zmysel, len ak text cvicenia upresnuje ramec v ktorom treba pracovat.
dalsia poznamka:
Oznacenie $\mathbb{R}^*$ je velmi nesikovne, lebo normalne sa pouziva v inom zmysle.

Zvycajne v zmysle co je vyssie pouzity sa pouziva oznacenie $\mathbb{ \bar R}$

Viem, ze teoreticky ide len o oznacenie, ale preco vytvarat narodnu vynimku z oznaceniamy! ( teoreticky nikto nema pravdu, ale je lepsie sa neizolovat od sveta)

Rumburak · 29. 10. 2014 16:53

↑ vanok:

Opětuji pozdrav.

Domnívám se, že značení $\mathbb{R}^*$ pro $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$ se používá (aspoň v Česku) hlavně proto, že
s množinou $\mathbb{R}$ všech (konečných) reálných čísel se velmi často pracuje jako s metrickým prostorem
(při eukleidovské metrice), takže v této souvislosti pak vychází $\mathbb{ \bar R}=\mathbb{R}$ .

vanok · 29. 10. 2014 17:22 — Editoval vanok (29. 10. 2014 17:29)

↑ Rumburak:,
$\mathbb{R}^*$ oznacuje inverzibilne prvky telesa $\mathbb{R}$ .
Cize vzdy treba byt opatrny pri citani knih (ale tak ci tak je lepsie sa prisposobit vedcine)
No my sme len pozorovatelia....

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Extended … umber_line
Ak bude cas pozrieme co robi Bourbaki.

Rumburak · 29. 10. 2014 18:07

↑ vanok:

Mohu jedině souhlasit .

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2014 01:57

Suprémum a infimum posloupnosti

#2 29. 10. 2014 10:00 — Editoval Rumburak (29. 10. 2014 10:18)

Re: Suprémum a infimum posloupnosti

#3 29. 10. 2014 11:30

Re: Suprémum a infimum posloupnosti

#4 29. 10. 2014 16:53

Re: Suprémum a infimum posloupnosti

#5 29. 10. 2014 17:22 — Editoval vanok (29. 10. 2014 17:29)

Re: Suprémum a infimum posloupnosti

#6 29. 10. 2014 18:07

Re: Suprémum a infimum posloupnosti

Zápatí