Matematické Fórum

Argcotgh x · 30. 10. 2014 17:05

Ahoj, mohl bych vás poprosit o přijatelné zdůvodnění tohoto tvrzení?

Zadání:

Rozhodněte, zda platí: Soustava (A | b) je řešitelná, matice B je regulární => soustava (BA | b) je taky řešitelná. Zdůvodněte.

Znám zdůvodnění pro velmi podobnou úlohu:

Soustava (A | b) je řešitelná, matice B je regulární => soustava (AB | b) je taky řešitelná. Zdůvodněte.
To zní:
Sloupce AB jsou lineární kombinací sloupců A.
Protože A = (AB).B^(-1),
jsou i sloupce A lineární kombinací sloupců AB.
Tedy S(AB) = S(A),
a pokud
b náleží do S(A),
pak náleží b i do S(AB).
Tedy (AB|b) je řešitelná.

Teď jde o to, zdůvodnit to i pro soustavu (BA | b). Problém je, že násobení matic není (obecně) komutativní, takže to tak jednoduché nebude.

OndrasV · 30. 10. 2014 19:39

↑ Argcotgh x: Hlavní je, zda vynásobením matice A regulární maticí nezměním její hodnost. Protože kdyby matice AB měla menší hodnost než A, tak by AB měla menší hodnost než soustava (AB|b) .

Argcotgh x · 01. 11. 2014 16:15

Pro zájemce výsledek: Soustava (BA|b) není obecně řešitelná:

Násobení matic není komutativní. Jako zdůvodnění neplatnosti tvrzení lze ukázat alespoň jeden (proti)příklad.

Např. soustava

(A | b)

(1, 1, | 1)
(0, 0, | 0)

řešitelná je;

pokud matici A

(1, 1)
(0, 0)

zleva vynásobíme regulární maticí B

(1, 1)
(1, 0),

Dostaneme součin

(1, 1) * (1, 1) = (1.1+1.0, 1.1+1.0) = (1, 1)
(1, 0) (0, 0) (1.1+0.0,1.1+0.0) (1, 1)

a poté soustava

( BA | b)

(1, 1, | 1)
(1, 1, | 0)

vede ke sporu, neboť říká, že současně platí

x + y = 1
x + y = 0.

Existuje tedy alespoň jedna soustava (BA | b), která není řešitelná.

Pokud budete chtít výsledek použít, vymyslete si, prosím, jako příklad jinou matici.

OndrasV · 03. 11. 2014 13:56

↑ Argcotgh x: Omlouvám se za chybu.

Elisa · 14. 11. 2016 23:37

Jak je to prosím s těmi hodnostmi matic? Děkuji

vanok · 15. 11. 2016 05:56

Ahoj ↑ Elisa:,
O hodnostiach = rank= rang ( cz, sk, engl , fr) sa mozes docitat napr v knihe od G.Strang ( druha kapitola) .... ak urobis vsetki cvicenia budes ozaj na top urovni.

Elisa · 15. 11. 2016 06:24

↑ vanok:
Děkuji, cvičení si udělám. Myslím to ale ohledně příspěvku ↑ OndrasV: , jak se pak opravil, tak jak měla být jeho odpověď správně? Děkuji

Elisa · 15. 11. 2016 16:45

Stačí řešení z příspěvku #3 nebo to jde ještě dokázat přes hodnosti?

vanok · 15. 11. 2016 22:53 — Editoval vanok (15. 11. 2016 22:53)

Ano. Podla formulacie kolegu ↑ Argcotgh x: v jeho prvkom prispevku, je to dobre riesenie daneho problemu.

Elisa · 15. 11. 2016 23:04

Ten protipříklad nebo důkaz (podobného příkladu)?

vanok · 16. 11. 2016 00:47

Protipriklad.

Elisa · 16. 11. 2016 06:39

Děkuji

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2014 17:05

Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#2 30. 10. 2014 19:39

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#3 01. 11. 2014 16:15

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#4 03. 11. 2014 13:56

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#5 14. 11. 2016 23:37

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#6 15. 11. 2016 05:56

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#7 15. 11. 2016 06:24

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#8 15. 11. 2016 16:45

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#9 15. 11. 2016 22:53 — Editoval vanok (15. 11. 2016 22:53)

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#10 15. 11. 2016 23:04

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#11 16. 11. 2016 00:47

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

#12 16. 11. 2016 06:39

Re: Zdůvodnění tvrzení - řešitelnost matice soustavy

Zápatí