Matematické Fórum

MaxDJs · 03. 11. 2014 20:58

Dokažte pomocí matematické indukce, že platí

$1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n\cdot n! = (n+1)! - 1$

(0)
n=1
$1\cdot 1! = 2! -1$
$1 = 2 -1$
$1 = 1$

(1)
chci
$1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n(+1)\cdot (n+1)! = (n+2)! - 1$

$[1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n\cdot n!]+ n(+1)\cdot (n+1)! = (n+1)!-1 + (n+1)(n+1)! = (n+1)n! - 1 + (n+1)(n+1)n! = ... = (n+2)!-1$

Bylo by možné poradit, jak postupovat dál abych se dostal k výsledku $(n+2)! - 1$ ?

Děkuji za odpověď

inconnu

Předpokládáme, že platí:
$1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n\cdot n! = (n+1)! - 1$ .
Chceme dokázat, že platí:
$1\cdot 1! + 2 \cdot 2! + ... + n\cdot n!+ (n+1)\cdot (n+1)! = (n+2)! - 1$ .
Využijeme indukčního předpokladu a na levé straně rovnice dostaneme:
$(n+1)!-1+ (n+1)\cdot (n+1)!$
Upravujeme dál, tak abychom získali pravou stranu rovnice, čili vytkneme $(n+1)!$ a využijeme vztahu $(k+1)\cdot k! = (k+1)!$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2014 20:58

Důkaz matematické indukce

#2 03. 11. 2014 21:12 — Editoval inconnu (03. 11. 2014 21:32)

Re: Důkaz matematické indukce

Zápatí