Matematické Fórum

Ahoj, mohl bych poprosit o pomoc s  takovýmto příkladem?:

Určete jádro a obraz zobrazení f: R^3 => R^2, které splňuje

f((2)) = (1)    f((4)) = (4)    f((3)) = (1)
((0))    (2),    ((1))    (5),    ((1))    (-1)
((3))             ((5))              ((2))

Řešíme vlastně maticovou rovnici

A . (2, 4, 3) = (1, 4, 1)
     (0, 1, 1)    (2, 5,-1)
     (3, 5, 2)

kterou musíme upravit z tvaru

A . B = C

na řešitelný tvar

B,T . A,T = C,T

tedy

A . (2, 0, 3) = (1, 2)
     (4, 1, 5)    (4, 5)
     (3, 1, 2)    (1,-1)

řešíme

(2, 0, 3 | 1, 2)
(4, 1, 5 | 4, 5)
(3, 1, 2 | 1,-1)

po provedení Gaussovy eliminace dostaneme

(1, 0, 0 | -2,        -4)
(0, 1, 0 | 11/3, 13/3)
(0, 0, 1 | 5/3,   10/3)

Napravo je transponovaná matice A,T,
další transpozicí získáme samotnou matici A:

(-2, 11/3,  5/3)
(-4, 13/3, 10/3)

resp. 1/3 . (-6,  11, 5)
                (-12,13,10)

hodnost h(A) = 2, tedy dim Im(f) = 2 a dim Ker(f) je 1.

Výpočet jádra matice:

1/3 . (-6,  11, 5) ~ (-6, 11,  5) ~ (12,-22,10) ~ (12,-22,10) ~ (6,-11, 5) ~ (-54,-99,  45) ~
        (-12,13,10)   (-12,13,10)    (-12,13,10)     (0,  -9, 20)    (0, -9,20)     (  0, 99,-220)


~ (-54, 0, 45) ~ (-6, 0,   5) ~ (1, 0,   -5/6)
    (0,   9,-20)     (0, 9, -20)    (0, 1, -20/9)

Poslední, nepivotní sloupec zvolíme jako parametr "t" a pomocí něj vyjádříme

{5/6 t, 20/9 t, t}

a jádro můžeme vyjádřit např.

<(5/6, 20/9, 1)>

*

Potud je mi to jasné.

Jak ale vyjádřit OBRAZ zobrazení? Měl by to být sloupcový vektor S(A), nevím ale, jak ho zapsat.

Můžu poprosit o pomoc?