Matematické Fórum

kryštof · 22. 11. 2014 21:43

Ahoj, mám problém s pochopením jednoho příkladu: Člověk sedí na otočné stoličce a v ruce drží roztočené kolo, jehož moment setrvačnosti vzhledem k ose jeho rotace je $I_{k}$ (obrázek). Kolo se točí proti směru hodinových ručiček (při pohledu shora) úhlovou rychlostí o velikosti $\omega _{k}$ a člověk ho otočí o 180 stupňů. Moment setrvačnosti soustavy (člověk+kolo) vzhledem k ose rotace stoličky je $I_{b}$ . Otázka je, jak se bude nyní otáčet soustava člověk+kolo?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-11/86949_obrazek.JPG
Vnější síly působící na soustavu (člověk+kolo) mají nulový moment vzhledem k jakémukoli bodu, takže moment hybnosti se zachovává.
$L_{ki,z}=L_{kf,z}+L_{bf,z}$ (i značí stav před otočením kola, f po; k značí kolo, b soustavu (člověk+kolo))
Problém ale je, jak zvolit vztažnou soustavu. Když se za osu z zvolí osa rotace stoličky, vztah $L_{z}=I\omega _{z}$ se nedá pro kolo použít, protože z pro něj není osa rotace. A když se zase za z zvolí osa rotace kola, pak $L_{z}=I\omega _{z}$ nejde použít pro soustavu (člověk+kolo). Může mi to někdo vysvětlit, byl bych vděčný.

Brzls · 23. 11. 2014 14:44

↑ kryštof:

Jasný máš pravdu. Oni to o čem mluvíš zanedbávaj, je to vlastně počítaný jako kdyby ten člověk to kolo držel nad hlavou (pak by šlo obě osy rotace ztotožnit).
Jediná připomínka tak neplést si pojmy vztažná soustava a osa rotace, tyto pojmy jsou na sobě naprosto nezávislé...

Jinak kdyby si to chtěl počítat tak jak uvažuješ, tak platí vztah připomínající Steinerovu větu (vlastně je to to samé akorát vynásobené omegou)
$L=L_{T}+md^{2}\cdot \omega$

Takže když znáš moment hybnosti způsobený rotací kolem osy procházející těžištěm, tak když chceš uvažovat jinou osu tak snadno zjistíš tento "nový" moment hybnosti. V tomto případě by stačilo vědět jak daleko od sebe drží to kolo.

btw můžu se zeptat co je to za knihu?

kryštof · 23. 11. 2014 15:08

↑ Brzls:
Díky, tak teď už je to jasný. Jinak kniha je Fyzika od Hallidaye, Resnika a Walkera.

Brzls · 23. 11. 2014 17:29 — Editoval Brzls (23. 11. 2014 17:35)

Ještě rád bych poznamenal, že s tím momentem hybnosti je to takové komplikované, neboť uplný pochopení dost závisí na tom umět dobře pracovat s vektory. Například ten vztah co jsem napsal taky platí "jen" někdy.

Taky ono to z toho moc nevyplynulo a teď nevim jestli jsme si porozuměli.

1. Moment hybnosti vůči těžišti toho rotujícího kola je přirozeně $L_{0}=I_{k}\omega$

2. Jenže když ten člověk stojí, tak moment hybnosti rotujícího kola vůči toho člověku je taky $L_{0}=I_{k}\omega$
a to je ten bod kdy nevím jestli jsme si porozuměli, jeslti ano tak je to ok, jestli ne tak to rozeberu.
Místo integrálu budu používat sumu, lépe se to zapisuje
platí totiž, že $L_{0}=\sum_{i}^{}m_{i}r_{i}×v_{i}$

no a když to teď chci počítat vůči tomu člověku tak ke všem původním polohovým vektorům musím ještě přičíst vektor posunutí
$L=\sum_{i}^{}m_{i}(r_{i}+r_{0})×v_{i}=L_{0}+\sum_{i}^{}m_{i}r_{0}×v_{i}$
jenže ta suma je nulová, protože ke každýmu bodu na kružnici se ten naproti němu pohybuje na přesně opačnou stranu teda jejich vektorový součet je nulový. Takže skutečně
$L=L_{0}$

V tom příkladě je ale problém v tom, že když se točí ten člověk, tak to kolo rotuje jak kolem své osy, tak kolem člověka. Moment hybnosti je potom
$L=\sum_{i}^{}m_{i}(r_{i}+r_{0})×(v_{i}+v_{r})$
a když se to potom dál upraví tak z toho skutečně vyjde
$L=L_{0}+mr_{0}×v=L_{0}+mr_{0}^{2}\omega$

Já i vidim že sem se i poněkud v předchozím příspěvku nepřesně vyjadřoval, tak jsem to pro jistotu chtěl doplnit i když to možná bylo zbytečné

Takže to funguje tak, že když moment hybnosti vůči těžišti je L0, a pak se to celé navíc začne rotovat (nebo prostě nějak pohybovat), tak pomocí toho vztahu určíš "nový" moment hybnosti.