Matematické Fórum

MaxDJs · 24. 11. 2014 14:42 — Editoval MaxDJs (24. 11. 2014 14:49)

Zdravím,

jak mám ověřit lineární ne/závislost v prostoru $M^{2,2}$ (prostor matic 2x2)? Za jakých pravidel je množina vektorů LN nebo LZ za předpokladu, že si ty vektory zapíšu do matice a provedu na té matici GEM? Je to tak, že ta matice nesmí mít víc jak 2 nenulové řádky po provedení GEM aby byla lineárně nezávislá?

Děkuji za odpověď

jelena · 24. 11. 2014 19:48

Zdravím, navazuje to nějak na Tvé téma? Děkuji.

MaxDJs · 24. 11. 2014 19:55

↑ jelena:

prakticky jenom teorií, ale příklad je to jinej. Vím jak to napsat do matice, ale nevím jak poznám lineární závislost nebo nezávislost z výsledku operace GEM. Je to tak, že pokud má matice víc jak 2 nenulové řádky tak je v prostoru $M^{2,2}$ množina lineárně závislá?

vanok · 24. 11. 2014 19:58

Ahoj ↑ MaxDJs:,
Doporucujem ti byt presnejsi, takto sa ti neda odpovedat na tvoju otazku.

MaxDJs · 24. 11. 2014 20:49

$M=\{\begin{pmatrix}1&10\\6&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3&7\\3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&-3\\1&-4\end{pmatrix}\}$

$\alpha\cdot\begin{pmatrix}1&10\\6&3\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}3&7\\3&2\end{pmatrix}+\delta\cdot\begin{pmatrix}1&-3\\1&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+2\beta+3\gamma+\delta&10\alpha+\beta+7\gamma-3\delta\\6\alpha+\beta+3\gamma+\delta&\alpha-\beta+2\gamma-4\delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&2&3&1\\10&1&7&-3\\6&1&3&1\\3&-1&2&-4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&-19&-23&-13\\0&-11&-15&-5\\0&-7&-7&-7\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&1&1\\0&0&-4&6\\0&0&-4&-6\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&1&1\\0&0&-4&6\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

K tomuhle dojdu a nevím jak z toho výsledku poznat, jestli je množina M lineárně závislá nebo nezávislá.

jelena · 24. 11. 2014 23:23

Ještě pozdrav i kolegovi ↑ vanok:.

↑ MaxDJs: děkuji, máš lineární kombinaci sestavenou:

$\alpha\cdot\begin{pmatrix}1&10\\6&3\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}3&7\\3&2\end{pmatrix}+\delta\cdot\begin{pmatrix}1&-3\\1&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

a hledáš, zda existuje alespoň jedna taková "sada" koeficientů $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ , že alespoň jeden koeficient není 0. Potom soustava matic bude lineárně závislá (pokud platí jen pro nulové koeficienty, tak lineárně nezávislá).

Pokud mám brát Tvůj výsledek úprav, tak $\delta=t$ , $\gamma=\frac{6t}{4}$ atd. Tedy pro t odlišné od 0 mám "sadů" nenulových koeficientů a množinu M označím za lineárně závislé. Jak to vidíš? Děkuji.

MaxDJs · 24. 11. 2014 23:36

↑ jelena:

Tak jsem došel ke stejnému výsledku, ale ve skriptech mám výsledek, že skupina je lineárně nezávislá.

jelena · 24. 11. 2014 23:55

↑ MaxDJs:

Zkus to vložit do nějakého online nástroje na kontrolu. Brala jsem Tvůj poslední výsledek. Když udělám krok zpět, tak
$\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&1&1&1\\0&0&-4&6\\0&0&-4&-6\end{pmatrix}$

předposlední řádek vynásobím (-1), v posledním dostanu 0, 0, 0, -12. Tak jestli jen tady chyba, nebo i něco jiného?

MaxDJs · 24. 11. 2014 23:58

↑ jelena:

Zítra se na to kouknu

Ta lineární kombinace je tedy zapsána dobře

$\alpha\cdot\begin{pmatrix}1&10\\6&3\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}3&7\\3&2\end{pmatrix}+\delta\cdot\begin{pmatrix}1&-3\\1&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+2\beta+3\gamma+\delta&10\alpha+\beta+7\gamma-3\delta\\6\alpha+\beta+3\gamma+\delta&\alpha-\beta+2\gamma-4\delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

? Abych věděl, že od toho se už mohu odpíchnout

jelena · 25. 11. 2014 00:01

↑ MaxDJs:

akorát v posledním řádku má být $3\alpha-...$ , ale do matice už jsi přepsal bez překlepu. Zítra již máme. Klidnou noc :-)

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2014 14:42 — Editoval MaxDJs (24. 11. 2014 14:49)

Lineární nezávislost prostoru matic

#2 24. 11. 2014 19:48

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#3 24. 11. 2014 19:55

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#4 24. 11. 2014 19:58

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#5 24. 11. 2014 20:49

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#6 24. 11. 2014 23:23

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#7 24. 11. 2014 23:36

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#8 24. 11. 2014 23:55

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#9 24. 11. 2014 23:58

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

#10 25. 11. 2014 00:01

Re: Lineární nezávislost prostoru matic

Zápatí