Matematické Fórum

Fires · 24. 11. 2014 15:06

Dobrý den,

řeším příklad na nekonečné řady:
$\sum_{n=3}^{\infty } \frac{1}{n(n-1)(n-2)}$

Začal jsem rozkladem na parciální zlomky:
$\sum_{n=3}^{\infty } \frac{1}{2n} - \frac{1}{(n-1)} + \frac{1}{2(n-2)}$

Pokračoval jsem částečným součetem:
$(-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4})+(-\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{6})+(-\frac{1}{5}+\frac{1}{12}+\frac{1}{8}) \ldots$

Bohužel jsem v tom nenašel žádný další postup jak bycho mohl z toho dostat nějakou rozumnou limitu.

Můžete mi někdo prosím poradit jak dal ? Díky moc.

Rumburak

↑ Fires:

Zdravím.

Položme $y(x) := \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^n}{n(n-1)(n-2)}$ . Tato řada konverguje v $\langle -1 , 1 \rangle$ .

Z teorie mocninných řad plyne, že uvnitř tohoto intervalu, tedy v $(-1 , 1)$ , platí

$y'(x) = \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^{n-1}}{(n-1)(n-2)}$

(derivace řady "člen po členu") , obdobně

$y''(x) = \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^{n-2}}{n-2}$ , $y'''(x) = \sum_{n=3}^{\infty } x^{n-3}$ .

Poslední řada má na intervalu $(-1 , 1)$ součet $\frac{1}{1-x}$ (jde o jinak zapsanou geometrickou řadu o kvocientu $x$ ).

To znamená, že dalším krokem bude vyřešit na $(-1 , 1)$ diferenciální rovnici $y'''(x) = \frac{1}{1-x}$ .
Počáteční podmínky určíme ze zřejmých hodnot funkce $y$ a jejích derivací v bodě $x = 0$ .

V závěru se použije Abelova věta o případném součtu mocninné řady v krajním bodě konvergenčního kruhu.

Fires · 24. 11. 2014 16:24

Rumburak napsal(a):
↑ Fires:

Zdravím.

Položme $y(x) := \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^n}{n(n-1)(n-2)}$ . Tato řada konverguje v $\langle -1 , 1 \rangle$ .

Z teorie mocninných řad plyne, že uvnitř tohoto intervalu, tedy v $(-1 , 1)$ , platí

$y'(x) = \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^{n-1}}{(n-1)(n-2)}$

(derivace řady "člen po členu") , obdobně

$y''(x) = \sum_{n=3}^{\infty } \frac{x^{n-2}}{n-2}$ , $y'''(x) = \sum_{n=3}^{\infty } x^{n-3}$ .

Poslední řada má na intervalu $(-1 , 1)$ součet $\frac{1}{1-x}$ (jde o jinak zapsanou geometrickou řadu o kvocientu $x$ ).

To znamená, že dalším krokem bude vyřešit na $(-1 , 1)$ diferenciální rovnici $y'''(x) = \frac{1}{1-x}$ .
Počáteční podmínky určíme ze zřejmých hodnot součtů funkce $y$ a jejích derivací v bodě $x = 0$ .

V závěru se použije Abelova věta o případném součtu mocninné řady v krajním bodě konvergenšního kruhu.

Tak to je na me asi moc advance :D Nejaka jednoduzsi cesta neni ? Ale samozrejme dekuji i tak . Jen mi prijde podle toho cviceni na kterem nam to bylo zadano ze byto melo jit tim rozkladem nebo jinim kriteriem.

Freedy · 24. 11. 2014 16:36 — Editoval Freedy (24. 11. 2014 16:37)

Ahoj,

tento příklad je docela zajímavý a jde řešit i snáz.
Zkus si zapsat každou ze tří řad pomocí jedné a postupně je posčítat. Sám nakonec zjistíš že součet je 1/4

rád bych sem přidal postup, bohužel mi však už nezbývá moc času. Kdyžtak večer, pokud by měl někdo zájem.

Rumburak

↑ Fires:

Měl jsem za to, že řešení pomocí mocninných řad je očekáváno.

Také by šlo vyjářit částečný součet

$S_N := \sum_{n=3}^{N } $\frac{1}{2n} - \frac{1}{(n-1)} + \frac{1}{2(n-2)}$$ .

Něco se tam nejspíš vyruší, když se to upraví šikovně - viz kolega ↑ Freedy:.

Správnost rozkladu na parciální zlomky jsem ale nekontroloval.

Fires · 24. 11. 2014 18:43

Ok diky uz sem to vyresil, klicove bylo z posloupnosti vytknou 1/2 a pak uz sem tam ten "vzorec vykraceni" nasel ..

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2014 15:06

Nekonečná řada

#2 24. 11. 2014 16:19 — Editoval Rumburak (24. 11. 2014 16:46)

Re: Nekonečná řada

#3 24. 11. 2014 16:24

Re: Nekonečná řada

Rumburak napsal(a):

#4 24. 11. 2014 16:36 — Editoval Freedy (24. 11. 2014 16:37)

Re: Nekonečná řada

#5 24. 11. 2014 16:56 — Editoval Rumburak (24. 11. 2014 17:03)

Re: Nekonečná řada

#6 24. 11. 2014 18:43

Re: Nekonečná řada

Zápatí