Matematické Fórum

tjelk · 26. 11. 2014 14:31

moc prosím o pomoc, jak na to,... Děkuji

pomocí Greenovy věty (všechny křivky jsou kladně orientovány):

$\int_{C}^{} (x^{2}-2xy+3y^{2})dx + (5x+1)dy; C: x^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

Rumburak

↑ tjelk:

Když budeme mít křivku C vyjádřenu parametricky, pak postačí dosadit do jistého vzorce, pomocí něhož lze převést
(za určitých předpokladů) křivkový integrál tohoto typu na "standardní" integrál funkce jedné proměnné, při čemž
touto proměnnou je parametr křivky.

EDIT:
Pardon - přehlédl jsem podmínku, že se to má počítat podle Greenovy věty. Ale i v tomto případě jde v podstatě jen
o dosazení do jistého vzorce.

tjelk · 26. 11. 2014 16:12

Myslíte, že byste mi hodil alespoň nástřel prosím....dlouho jsem neintegroval a potřebuji se do toho vpravit zas ;-) Díky moc ↑ Rumburak:

Rumburak · 26. 11. 2014 16:38

↑ tjelk:

Křivka $C$ je hranicí jistého kruhu $K$ a dotyčný vzorec daný G. větou je

$\int_C $ f \d x + g \d y $ = \iint_K $\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$ \d x \d y$ .

Při výpočtu dvojného integrálu vpravo, myslím, pomůže substituce do polárních souřadnic. A samozřejmě Fubiniova věta.

tjelk · 26. 11. 2014 19:41

Zas s tím bojuji, byla by ještě nějaká nápověda prosím ;-) alespoň krokově jak na to,... Dostanu se k využití Greenovy věty, ale pak nevím, jak zapracovat tu množinu C a jak využit Fubiniovu větu,..... Dík moc↑ Rumburak:

Rumburak

↑ tjelk:

Greenova věta převádí (za patřičných oředpokladů) výpočet křivkového integrálu

(1) $I := \int_C $ f \d x + g \d y $$

na výpočet dvojného integrálu

(2) $J := \iint_K $\frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}$ \d x \d y$

(případně naopak) s tím, že $I = J$ . Tento postup sice u našeho integrálu (1) výhodný není - vypočítat (1)
základními technikami pro křivkové integrály tohoto typu by vedlo k cíli rychlejí - ale zadání je zadání :-).

I. Především je potřeba uvést integrál (2) do konkretního tvaru pro naše konkretní funkce $f, g$ . k tomu stačí
umět počítat parciální derivace - zkuste to.

Dále:

II. Křivka $C$ určená rovnicí $x^{2}+(y-b)^{2} = r^{2}$ , kde $r$ je nejspíš dané kladné číslo, je kružnice
o středu $[0, b]$ a poloměru $r$ (látka SŠ). Množina $K$ bude tedy vnitřek kruhu ohraničeného kružnicí $C$
a bude mít popis

$K = \{ [x, y] \in \mathbb{R}^2 : x^{2}+(y-b)^{2} < r^{2}\}$ .

III. Snadněji než přímo přes kruh se obvykle integruje přes vhodný obdélník, což zde zajistíme substitucí

$x = \varrho \cdot \cos t , y - b = \varrho \cdot \sin t , [\varrho, t] \in Q$ ,

kde $Q =(0 , r) \times (0, 2\pi)$ je dotyčný obdélník . Na integrál (2) se tedy použije věta o substituci ve
dvojném integrálu, jejímž jádrem je další důležitý vzorec.

IV. Fubiniova věta se uplatní až téměř v závěru a bude to už celkem lehké.