Matematické Fórum

Našel jsem prakticky stejný příklad, akorát tam bylo pí^2014. Proto opravuji své zadání na 11 142, aby zbytek po celočíselném dělení byl taky 2.

V řešení se uvádí:

Pokud je permutace složena z nezávislých cyklů pí = pí 1 o pí 2 o ... o pí l,
pak pí^k = (pí 1)^k o (pí 2)^k o ...o (pí l)^k, protože nezávislé cykly komutují.

Má-li pí délku m, pak pí ^ m je identita.

odtud

pí ^ M = pí ^ (M mod m) o pí ^ (M div m) = pí ^ (M mod m)  o (pí ^ m)^M div m,

pí ^ m je identita,

tedy

pí ^M = pí ^ M mod m

a má vyjít

pro pí = [1, 10] o [2, 8, 5, 13] o [3, 12, 7, 4] o [6, 11, 14, 9]

má být pí ^ 2014 =  [1, 10]^0  o  [2, 8, 5, 13]^2  o  [3, 12, 7, 4]^2  o  [6, 11, 14, 9]^2

a má to být rovno

[1] o [10] o [2, 5] o [8, 13] o [3, 7] o [12, 4] o [6, 14] o [11, 9] =
= [2, 5] [3, 7] [4, 12] [6, 14] [8, 13] [9, 11],

hledané nejmenší k větší než 1000 má být k = 1003.

*

Tolik tedy řešení. Vzhledem k tomu, že 11 142 má taky zbytek po celočíselném dělení čtyřmi = 2, mělo by to asi vyjít podobně. Nevím však, jak se dobrat k tomuto výsledku. Můžu poprosit o radu? Dík

Raději bych zůstal u 11 142, protože má stejný zbytek po dělení čtyřmi = 2 jako 2014  v příkladu.

Není mi jasné, kde se vzaly exponenty cyklů:

[1, 10]^0  o  [2, 8, 5, 13]^2  o  [3, 12, 7, 4]^2  o  [6, 11, 14, 9]^2

a co vlastně znamená výraz

[1] o [10] o [2, 5] o [8, 13] o [3, 7] o [12, 4] o [6, 14] o [11, 9] =
= [2, 5] [3, 7] [4, 12] [6, 14] [8, 13] [9, 11]

Zkusím se tedy podívat na mocniny permutací. Ale jak přijdu na to, že nejmenší "k" věší než 1000 je 1003?

Omlouvám se za "natvrdlost", ale k tomu k :

2014 i 11 142 mají po dělení 4 zbytek 2, a po dělení dvěma 0 (jsou to sudá čísla).

1003 zase dává po dělení 4 zbytek 3, a po dělení dvěma zbytek 1.

Pořád mi taky ještě není jasné, proč mám cyklus [1, 10] umocnit na nultou a ostatní čtyřčlenné cykly umocnit na druhou.

Právě že jsem to potom změnil na 11 142, aby to číslo bylo sudé, "podobněší" tomu 2014 z toho řešeného příkladu a šlo ten příklad použít.

Vzhledem k tomu, že zbytek po celočíselném dělení čtyřmi je dvojka pro 11 142 i pro 1002, je tedy asi hledané k = 1002 ?

Takže souhrnem

pro pí = [1, 10] o [2, 8, 5, 13] o [3, 12, 7, 4] o [6, 11, 14, 9]

(což je rozklad permutace

(1,   2,   3,  4,   5,  6,  7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
(10, 8,  12, 3,  13, 11, 4, 5, 6,   1, 14,  7,   2,  9)

na cykly)

je pí^11 142 rovno = [1, 10]^0  o  [2, 8, 5, 13]^2  o  [3, 12, 7, 4]^2  o  [6, 11, 14, 9]^2

protože pí^4 = pí

nejmenší k > 1000, pro které platí mod (4) = 2, je 1002

Díky moc za pomoc! :-)