Matematické Fórum

pr0salian · 29. 11. 2014 16:44

Riešim priebeh funkcie

$y = arccos\frac{|3x+7|}{[2x-1]}$

Po úpravach som sa dopracoval ku trom intervalom.
$<-8,\frac{-17\sqrt{41}-133}{40}>\cup <\frac{-17\sqrt{41}-133}{40},-\frac{7}{3}>\cup <-\frac{7}{3},-\frac{6}{5}>$

Z prvej a druhej derivácie mi vyšlo, že: Na prvom intervale je funkcia rastúca a konkávna na druhom je rastúca a konvexná na treťom je klesajúca a konkávna.

Prvá derivácia sa nule nerovná z toho som usúdil, že v $-\frac{7}{3}$ má lokálne maximúm (aj keď by mi tam sedelo aj globálne podľa grafu) a druhá derivácia sa rovná nule v dvoch bodoch
$\frac{-17\sqrt{41}-133}{40}$ a $\frac{17\sqrt{41}-133}{40}$ , lenže druhý bod nepatrí do D(f).

Takže funkcia má jeden inflexný bod ale podľa priebehu sa mení z konvexnej na konkávnu (alebo naopak) aj v bode
$-\frac{7}{3}$ takže by ma zaujímalo, či je možné, že aj keď sa druhá derivácia funkcie v bode $-\frac{7}{3}$ nerovná 0, tak je inflexný bod??

jelena · 29. 11. 2014 21:33

Zdravím,

něco jsem zkontrolovala ve WA (1. a 2. derivace a def. obor).

Prvá derivácia sa nule nerovná z toho som usúdil, že v $-\frac{7}{3}$ má lokálne maximúm

to bude trochu jinak - na def. oboru první derivace není nulová. Další bod podezřelý z extrému by byl tam, kde derivace neexistuje (což je např. v 1/2, ale to je mimo def. obor, tedy není problém). Ovšem zadání obsahuje absolutní hodnotu a v nulových bodech absolutních hodnot (zde -7/3 a 1/2) derivace také neexistuje. V takovém bodě očekáváme, že funkce může mít "hrot".

Proto, pokud takový bod padl do def. oboru, tak jak u 1. derivace, tak u 2. derivace "kvalitu" bodu posoudíme pomocí změny znamének 1. derivace (zda extrém) a 2. derivace (zda inflexní bod). Dokonce bych tomu $x=-\frac{7}{3}$ přímo neříkala "inflexní bod", ale že zde je změna funkce z konkávní na konvexní (nebo naopak - jak vyšlo) (viz poznámky u definice).

Po úpravach som sa dopracoval ku trom intervalom.
$<-8,\frac{-17\sqrt{41}-133}{40}>\cup <\frac{-17\sqrt{41}-133}{40},-\frac{7}{3}>\cup <-\frac{7}{3},-\frac{6}{5}>$

K tomu jsi se dopracoval jak - konkrétně k $x=-\frac{7}{3}$ (zbytek je jasný)? Děkuji.

pr0salian · 29. 11. 2014 22:03

Keďže je to absolutná hodnota tak som rozdelil na všetky možnosti.

Konkrétne $arccos\frac{3x+7}{-2x+1}$
$arccos\frac{-3x-7}{-2x+1}$
$arccos\frac{3x+7}{2x-1}$

Potom som všetky možnosti porovnával či sú v intervale <-1,1> pre ktorý ma arccos definičný obor napr
$\frac{3x+7}{2x-1} \ge -1 \wedge \frac{3x+7}{2x-1}\le 1$ dal všetko an jednu stranu a porovnával s nulov na konci som urobil zjednotenie všetkých intervalov.

Ostali mi už len tieto dve funckie
Konkrétne $arccos\frac{3x+7}{-2x+1} ,D(f) =<-\frac{7}{3},-\frac{6}{5}>$ a $arccos\frac{-3x-7}{-2x+1} ,D(f) =<-8,-\frac{7}{3}>$

tam som overoval paritu, spojitosť atď.. Takže ku tomu -7/3 radšej nemam písať, že je inflexný bod? A ešte, asymptoty som ani neoveroval, napísal som, že so smernicou nemá (keďže je spojitá na celom D(f)a bez smernice podľa grafu, tiež nemá.

jelena · 29. 11. 2014 23:17

↑ pr0salian:

děkuji, odstranění znamének u absolutních hodnot úplně podrobně kontrolovat nebudu, to předpokládám, že máš překontrolováno (def. obor mi vyšel stejně)

Takže ku tomu -7/3 radšej nemam písať, že je inflexný bod?

Rozumím tomu, že jsi derivoval 2 zápisy funkce (na intervalu do -7/3) byl jeden zápis, potom druhý zápis. Již z toho můžeš zapsat, že derivace zleva a zprava od -7/3 nejsou stejné, tedy derivace v samotném bodě -7/3 neexistuje (a to jak 1. derivace neexistuje, tak 2.derivace neexistuje). Tak to napíšeš. Pokud máte v definicích, že stacionární bod je, když 1. derivace neexistuje a kritický bod je, když 2. derivace neexistuje, tak to můžeš tak označit a pokračovat, tak, že v tabulce znamének vyznačí znaménka derivace. Tedy máš vyšetřenou monotonnost (znaménka 1. derivace) a konvexní/konkávní (znaménka 2. derivace).

Pokud potřebuješ přesně označit x=-7/3 názvem, tak ho můžeš k vyšetření monotonie označit "lokální maximum", protože tuto vlastnost splňuje (je stacionárním bodem a změna znaménka 1. derivace).

Ohledně inflexního bodu v x=-7/3 - ještě jednou na odkaz (věta 19 a poznámka 20) - porovnej, jak máte vedeno u vás. Pokud nic nenajdeš, tak můžeš dat poznámku, že dle materiálu (podrobně odkaz) jsi ho za inflexní neoznačil, ale, že v tomto je změna konvexní-konkávní.

Pro samotné vyšetření funkce je podstatné, že v bodě funkce je definována a jak k bodu přichází-odchází. Ten název bodu - spíš okomentovat (pokud nenajdeš přesnou a jednoznačnou definici u vás).

A ešte, asymptoty som ani neoveroval, napísal som, že so smernicou nemá (keďže je spojitá na celom D(f)a bez smernice podľa grafu, tiež nemá.

.

když je spojitá na celém D, tak nemá bez směrnice (svislou nemá). Interval def. oboru je uzavřený, tedy není nutné vyšetřovat ani na hranicích intervalu (pro klid můžeš napsat hodnoty funkce na hranicích intervalu).

Asymptotu se směrnici nevyšetřuješ, jelikož funkce není definována ani v nekonečnu, ani v minus nekonečnu - viz definice.

podľa grafu, tiež nemá.

:-) graf je výstupem vyšetření průběhu, tedy "podle grafu" bys v práci vůbec neměl psát, jen podle důsledků vyšetření.

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2014 16:44

Inflexné body

#2 29. 11. 2014 21:33

Re: Inflexné body

#3 29. 11. 2014 22:03

Re: Inflexné body

#4 29. 11. 2014 23:17

Re: Inflexné body

Zápatí