Matematické Fórum

Ingeborg

Ahoj, potřebovala bych pomoci s příkladem: Najděte válec, který má při daném povrchu maximální objem.
ze vzorce pro objem jsem si vyjádřila $v=\frac{V}{\pi \cdot r^{2}}$
pak jsem dosadila do vzorce pro obsah válce a po úpravách mi vyšlo $S=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}$
první derivace mi pak vyšla $S= 4\pi r+\frac{2}{r}$
a druhá derivace $S=4+\frac{1}{r}$
prosím je to správně? a jak mám pokračovat?

misaH · 30. 11. 2014 17:41 — Editoval misaH (30. 11. 2014 17:41)

↑ Ingeborg:

$\[\frac {2V}{r}\]'=\[2Vr^{-1}\]'$

Ingeborg · 30. 11. 2014 17:50

↑ misaH:↑ misaH:
takže 1. derivace bude $S=4\pi r-2Vr^{-2}$

Jj · 30. 11. 2014 19:05 — Editoval Jj (30. 11. 2014 19:06)

↑ Ingeborg:

Dobrý den. Řekl bych, že výpočet je na počátku trochu pomotaný a vede proto někam do neznáma.

Má-li se hledat max. objem, musí se vyjádřit jako funkce daných proměnných. Řekl bych, že

$V = \pi r^2 v,\, S = 2\pi r^2 + 2\pi rv \Rightarrow v = \frac{S-2\pi r^2}{2\pi r}\Rightarrow$

$V =\frac{r(S-2\pi r^2)}{2}=\frac{Sr}{2}-\pi r^3$ , což je závislost objemu na poloměru (S je konstanta).

Takže zjistit r, při němž má V extrém:

$V' = \frac{S}{2}-3\pi r^2 = 0 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{S}{6\pi}}$ , druhá derivace je při uvedeném r < 0

Ke zjištěnému r spočítat v:

$v = \frac{S-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{S-2\pi\frac{ S}{6\pi}}{2\pi \sqrt{\frac{S}{6\pi}}}=2\sqrt{\frac{S}{6\pi}}$

--> maximální objem při daném povrchu je pro v = 2r (tzn. výška válce = průměru válce).

Ingeborg · 30. 11. 2014 19:20

↑ Jj:↑ Jj:
ahoj, ano smotala jsem 2 zadání dohromady, moc děkuju za pomoc, podle principu už jsem přišla i na ostatní podobné příklady
Díky

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2014 17:28 — Editoval Ingeborg (30. 11. 2014 17:29)

užití derivací

#2 30. 11. 2014 17:41 — Editoval misaH (30. 11. 2014 17:41)

Re: užití derivací

#3 30. 11. 2014 17:50

Re: užití derivací

#4 30. 11. 2014 19:05 — Editoval Jj (30. 11. 2014 19:06)

Re: užití derivací

#5 30. 11. 2014 19:20

Re: užití derivací

Zápatí