Matematické Fórum

talent2211 · 02. 12. 2014 21:22

Dobrý den, potřeboval bych pomoci s jednou limitou... původní byla limita funkce na jinou funkci, kde jsem se přepisem na limitu exponenciály dostal na tuhle, odkud si už nejsem jistý jak dále:

$\lim_{x\to0}\ [(sin x/x)-1]/[\sqrt{x^2+1}-(\cos x)^2]$

všem moc děkuju za radu

Pavel · 03. 12. 2014 10:48 — Editoval Pavel (03. 12. 2014 10:48)

↑ talent2211:

Limitu je vhodné upravit na tvar

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x\left(\sqrt{x^2+1}-\cos^2x\right)}$

Pak se nabízí několik možností:

1. Nejkratší a nejefektivnější postup - Taylorův rozvoj funkcí $\sin x$ , $\sqrt{x^2+1}$ a $\cos x$ v bodě $x=0$ .

2. Hrubá síla - použít 3x l'Hospitalovo pravidlo.

3. Nejdelší a nejelegantnější varianta - limitu vhodně upravovat, rozšiřovat atd. Postup je však nepoměrně delší než v předchozích variantách.

talent2211 · 03. 12. 2014 12:20

díky moc, postupnými úpravami jsem se dostal k tomuto

$(2/3)\cdot \lim_{x\to0}(\sin x-x)/x^3$

existuje nějaká rozumná možnost rozšíření nebo úpravy, abych v tomhle posledním kroku nemusel používat L'Hospitala?

Pavel · 03. 12. 2014 12:37

↑ talent2211:

Ano, poslední limita se dá řešit elegantním, avšak velice netradičním způsobem bez použití derivací. Právě proto jsem zadal tento problém zde.

talent2211

a mohl bych poprosit aspoň o nějaké nakopnutí? bude se jednat o nějakou identitu gon. fcí, bude se tam vyskytovat nějaká chytrá jednička? potřeboval bych aspoň nějak popostrčit, díky

eventuálně mě napadá přepis x=sin(arcsin x) a vzorec na sin x - sin y, bude tam figurovat?

Pavel · 03. 12. 2014 16:09 — Editoval Pavel (03. 12. 2014 16:10)

↑ talent2211:

Závěrečná limita je už rozřešena, zatím jsou k dispozici dva podobné postupy, viz zde

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2014 21:22

limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

#2 03. 12. 2014 10:48 — Editoval Pavel (03. 12. 2014 10:48)

Re: limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

#3 03. 12. 2014 12:20

Re: limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

#4 03. 12. 2014 12:37

Re: limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

#5 03. 12. 2014 13:29 — Editoval talent2211 (03. 12. 2014 13:41)

Re: limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

#6 03. 12. 2014 16:09 — Editoval Pavel (03. 12. 2014 16:10)

Re: limita funkce typu 0/0 s gon. fcemi

Zápatí