Matematické Fórum

Jerguš

Dobrý večer,

chcem sa vás spýtať, ktorý výsledok je správny, pretože mám 2.

Ide o Maclaurinov polynóm stupňa 18, funkcie $y=sin^{3}x$
Riešil som to takto:

z predošlého príkladu pre $sinx$ som zistil toto: $T_{n}(x) =x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!} ....$

$sin^{3}x$ = $(sinx)^{3}$

1. výsledok:

$T_{18}(x) = (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})^{3}$

2. výsledok:

$T_{18}(x) = (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!})^{3}$

Samozrejme sa môže stať, že ani jeden výsledok nie je správny.

Ďakujem

vanok · 03. 12. 2014 01:15

Ahoj
Druhy navrhnuty vysledok nie
Prvy sa da upravit, vdaka funkcii zabudnutia vsetkych clenov stupna vyssieho ako 18: $Z_{18}$
$T_{18}(x) =Z_{18} [(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})^{3}]$

Jerguš · 03. 12. 2014 18:05

Ďakujem, takže prvý výsledok je správny ? stačí ak to napíšem tak ? alebo to mám ešte aj umocniť na 3 ?

jelena · 07. 12. 2014 00:18 — Editoval jelena (07. 12. 2014 14:43)

Zdravím,

kolega Jerguš přes PM se "připomíná" s tématem.

Zadání

Ide o Maclaurinov polynóm stupňa 18, funkcie $y=sin^{3}x$

a kolega se ptá, zda ještě má výsledek umocnit: To ano, ale spíš dokončit úpravy tak, aby byl polynom do 18. stupně. Umocnění polynomu v následném citátu by dávolo hodně vysoký stupeň, který nepotřebujeme.

vanok napsal(a):
$P_{18}(x) =Z_{18} [(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})^{3}]$

Podle doporučení kolegy ↑ vanok: rozumím, že ano - umocnit, ovšem umocnění "ukončit" tak, aby ve výsledku byl polynom nejvýše 18. stupně. Tedy (pokud si představím umocnění), tak bych měla umocňovat jen to je nedostatečné - viz následná diskuse) $T_{18}(x) = $x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!}$^{3}$ a to provedu jako

$T_{18}(x) = $x\(1+\frac{x^{4}}{5!}$-x^3$\frac{1}{5!}+\frac{x^{4}}{7!}$\)^{3}$ . Pokud jsem správně pochopila. Nebo se na to ještě někdo podívejte. Děkuji.

EDIT: příspěvek obsahuje chyby - viz následná diskuse v tématu

vanok · 07. 12. 2014 03:30 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:28)

Pozdravujem ↑ jelena:
Pisal som
$T_{18}(x) =Z_{18} [(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})^{3}]$
Vo vypocte treba "nezabudnut" ziadny clen mensieho alebo rovneho stupna ako 18.
Tak napr ani ziadny clen stupna 17 ktore sa dostanu ako suciny clenov
$x^{1+1+15}+x^{ 1+3+13}+ x^{1+5+11}+x^{1+7+9}+...$ (Pozor sucin mocniny 1+3+13... treba brat zo vsetkymi permutaciamy... tu je ich 6 )
Cize tvoje zabudnutie je nepresne lebo neberie do uvahy taketo suciny.
Prakticky ak sa vo vypocte dostane nejaky clen stupna vysieho ako 18, tak je zabudnuty...
Poznamka:
Pojem " zabudnutia" = tronkatura ="odrezanie"( no vsak to som nevidel v ziadnej sk, cz literature, tak som vytvoril vlastny pojem )

↑ Jerguš:,
Tvoja odpoved je tiez nepresna, lebo tvoj zapis uvazuje aj po umocneni aj cleny stupna vyssieho ako 18.

Jerguš · 07. 12. 2014 13:55

Ďakujem vám obom no tvojmu príspevku vanok nerozumiem

↑ jelena:
chcem sa spýtať či tam nie je chyba pri vyňatí $x^{3}$ pred zátvorku pretože tam máte $\frac{1}{5!}$ a nemalo by tam byť $\frac{1}{3!}$ ?

vanok · 07. 12. 2014 14:18 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:26)

↑ Jerguš:,
Priklad
Tvoj rozvoj musi obsahovat vsetki cleny do stupna 18.
Ak napises ako tu ↑ jelena: na konci tak ignorujes niektore cleny,( cize ide o spatny vysledok)
Priklad zabudnuteho clenu:
$(x-........)(x-....)(....-\frac {x^{15}}{15!}....)$ ktory da jednu cast prispevku mocniny $x^{17}$ ( cize $-\frac {x^{17}}{15!}$ ....ale pozor vo vysledku treba pridat vsetki podobne prispevky)....
Pochopitelne ide o trochu unavnu pracu! ( informatika moze pomoct)

V tvojom vysledku ↑ Jerguš:, tvoj vysledok je tiez chybny, lebo obsahuje aj cleny z $x^n$ z n vedcim ako 18 ( a tie treba zabudnut = tronkaturovat ).
Preto som napisal
$T_{18}(x) =Z_{18} [(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})^{3}]$

Vysvetlenia co som napisal su lopatisticke a co najkratcie, no vsak tu nechcem robit prednasku veci co musia byt urobene v skole.

Dobre pokracovanie.

jelena · 07. 12. 2014 14:41

↑ vanok:

Zdravím a děkuji velice za odezvu, určitě v té úvaze mám chybu - představovala jsem si "složený" binomický rozvoj, ale neuvědomila jsem, že členy se neovlivňuji jen po dvojicích ale "přes celý vzorec. Přidám poznámku, že není dobře.

↑ Jerguš: ano to je překlep. Ale ani tak to použitelné není.

Já jsem reagovala na PM a na téma tak, jak je již rozdiskutováno, ale má otázka - nebylo by jednodušší (pokud již je zaveden rozvoj pro sin(x)), použit vzorec pro 3 mocninu tak (viz vzorce) a jen substituci (3x):

$\sin^3 \alpha = \frac{1}{4} ( 3 \sin \alpha - \sin 3 \alpha)$

Děkuji, zdravím.

vanok · 07. 12. 2014 14:53 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:58)

Dalsie pozdravy ↑ jelena:,
Ano pouzitie $\sin^3 \alpha = \frac{1}{4} ( 3 \sin \alpha - \sin 3 \alpha)$ je o mnoho rychlejsia cesta k rieseniu.
Ale navvrhnuty postup kolegom i ked dlhy na vypocty, ukazuje vsetki detaily na ktore sa nesmie zabudnut.
Peknu nedelu.

Poznamka: na WA sa da riesenie ziskat na etapy,posledne moze byt toto vlozenie:
(sin x)^3 -x^3 +x^5/2-13x^7/120+41x^9/3024

Jj · 07. 12. 2014 15:02 — Editoval Jj (11. 12. 2014 15:19)

Zdravím všechny.

Zrovna jsem se chystal na tutéž radu, takže už to nechám:

$\sin^3 x = \frac{1}{4} ( 3 \sin x - \sin 3 x )$

$\Rightarrow \sin^3 x = \frac{1}{4}\left(\sum_{0}^{\infty}(-1)^k\cdot \frac{3\, x^{2k+1}}{(2k+1)!}-\sum_{0}^{\infty}(-1)^k\cdot \frac{(3\,x)^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)=$

$=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot \frac{(3^{2k+1}-3) x^{2k+1}}{4(2k+1)!}$

a

$T_{18}=\sum_{0}^{8}(-1)^{k+1}\cdot \frac{(3^{2k+1}-3) x^{2k+1}}{4(2k+1)!}=x^3-\frac{x^5}{2}+\frac{13 x^7}{120}-\,\cdots-\frac{7913 x^{17}}{87178291200}$

vanok · 07. 12. 2014 15:05 — Editoval vanok (11. 12. 2014 14:32)

pozdravujem ↑ Jj:,
Ano tato cesta je o mnoho rychlejsia (po oprave preklepov), ta druha ma vyhodu, ze treba dokonale ovladat teoriu.

Jerguš · 11. 12. 2014 10:29

Ospravedlňujem sa no stále tomu nerozumiem, nám to bolo vysvetlené pre sinx a sin x^5 a to tiež tak že študent to išiel vypočítať na tabuľu

vanok · 11. 12. 2014 13:08

Ahoj,
Tu vyssie mas 2 metody.
Tiez mozes napisat metodu tvojho kolegu, mozno ti tu niekto potom napise nejake zaujimave komentare.
Dobre pokracovanie.

Jerguš · 11. 12. 2014 13:28

prosím vás a prečo ide v tej sume k od 0 len po 8 ?

Jj · 11. 12. 2014 14:08

↑ Jerguš:

Protože pro k = 8 dostáváme člen s mocninou $x^{2k+1}=x^{17}$

vanok · 11. 12. 2014 14:29 — Editoval vanok (11. 12. 2014 17:12)

Ahoj ↑ Jerguš:,
Kolega ↑ Jj: bol nepresny, asi chcel napisat

Pretoze $\sin^3 x = \frac{1}{4} ( 3 \sin x - \sin 3 x)$
A tiez
$T(\sin(x))_{18}(x) =(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5} }{5!}- \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9} }{9!}- \frac{x^{11}}{11!} + \frac{x^{13} }{13!}- \frac{x^{15}}{15!} + \frac{x^{17} }{17!})=\\ \sum_{k=0}^{k=8}(-1)^k\cdot \frac { x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
( v tej sume sa ide do 8, lebo 17=2.8+1)
Potom vyjadri
$T(\sin(3x))_{18}(3x)$
A na koniec pouzi $\sin^3 x = \frac{1}{4} ( 3 \sin x - \sin 3 x)$ co da $T(\sin^3(x))_{18}$
( tu nemusis pouzit funkciu zabudnutia, lebo tu vsetki vypocty mas radu 18).
Staci?

Jerguš · 11. 12. 2014 16:39

áno bude mi to stačiť, ďakujem vám všetkým, mlžete uzavrieť tému

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2014 22:50 — Editoval Jerguš (02. 12. 2014 22:51)

Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#2 03. 12. 2014 01:15

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#3 03. 12. 2014 18:05

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#4 07. 12. 2014 00:18 — Editoval jelena (07. 12. 2014 14:43)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

vanok napsal(a):

#5 07. 12. 2014 03:30 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:28)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#6 07. 12. 2014 13:55

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#7 07. 12. 2014 14:18 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:26)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#8 07. 12. 2014 14:41

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#9 07. 12. 2014 14:53 — Editoval vanok (07. 12. 2014 14:58)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#10 07. 12. 2014 15:02 — Editoval Jj (11. 12. 2014 15:19)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#11 07. 12. 2014 15:05 — Editoval vanok (11. 12. 2014 14:32)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#12 11. 12. 2014 10:29

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#13 11. 12. 2014 13:08

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#14 11. 12. 2014 13:28

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#15 11. 12. 2014 14:08

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#16 11. 12. 2014 14:29 — Editoval vanok (11. 12. 2014 17:12)

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

#17 11. 12. 2014 16:39

Re: Maclaurinov polynóm - overenie výsledku

Zápatí