Matematické Fórum

terezinek · 08. 12. 2014 16:45

Měl by někdo, prosím, nápad, jak dokázat, že $\sum_{1}^{n}n/x^n$ odpovídá $[x^ (n+1) - x*(n+1) +n] / [x^n* (x-1)^2]$ ? matematickou indukcí to zvládnu, ale hledám jiné řešení.

radekm · 08. 12. 2014 21:49

Předpokládám, že máte na mysli $\sum_{i=1}^n \frac{i}{x^i}$ . Pak zjevně $x \neq 0$

Hledaný součet označme $S$ . Platí platí

$S = \frac{1}{x^1} + \frac{2}{x^2} + \cdots + \frac{n}{x^n}$
$Sx = 1 + \frac{2}{x^1} + \cdots + \frac{n}{x^{n-1}}$

Odečteme oba výrazy od sebe:

$Sx - S = 1 + \frac{1}{x^1} + \frac{1}{x^2} + \cdots + \frac{1}{x^{n-1}} - \frac{n}{x^n}$

Položme $q = x^{-1}$ , pak máme

$Sq^{-1} - S = 1 + q^1 + q^2 + \cdots + q^{n-1} - nq^n$

Pro $q \neq 1$ použijeme vzorec pro sečtení geometrické posloupnosti:

$Sq^{-1} - S = \frac{q^n - 1}{q - 1} - nq^n$

Vyjádříme $S$ a dosadíme $x$ :

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2014 16:45

Součet řady

#2 08. 12. 2014 21:49

Re: Součet řady

Zápatí