Matematické Fórum

Argcotgh x · 10. 12. 2014 21:06

Ahoj, mám problém - odvodit, že inverzní funkce k sinh x je argsinh x.

Vím, že

$sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

a

$argsinh (x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}$

teď jde o to, nějak to dát dohromady.

Bati · 10. 12. 2014 21:31

Ahoj,
protože už tu inverzi znáš, stačí ti ověřit, že $\sinh(\text{argsinh}\,{x})=x=\text{argsinh}(\sinh{x})$ na $\mathbb{R}$ , což je celkem triviální.

Jj · 10. 12. 2014 21:31

↑ Argcotgh x:

Zdravím.

Řekl bych, že třeba

$y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}$
$e^{2x}-1=2ye^{x}$
$e^{2x}-2ye^{x}+y^2=1+y^2$
$(e^{x}-y)^2=1+y^2$
$e^{x}=y+\sqrt{1+y^2}$
$x=\ln (y+\sqrt{1+y^2})$

$\Rightarrow argsinh(x) =\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

Argcotgh x · 10. 12. 2014 22:18

Díky, to je přesně ono!

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2014 21:06

sinh x a argsinh x

#2 10. 12. 2014 21:31

Re: sinh x a argsinh x

#3 10. 12. 2014 21:31

Re: sinh x a argsinh x

#4 10. 12. 2014 22:18

Re: sinh x a argsinh x

Zápatí