Matematické Fórum

kexholm · 11. 12. 2014 22:26

Ahoj, mám tuhle limitu
$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}$

což připomíná

$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1=log(\mathrm{e})$

takže odhaduju že limita bude log(a). U strýčka wolframa jsem se dozvěděla že můj odhad je správný, ale nevím jak to pořádně zargumentovat. "vypadalo to tak" není argument :<

Napadlo mně použít Heineho definici limity, ta by ovšem sedla jen v obráceném případě, protože e^x je podposloupnost a^x :<

byk7 · 11. 12. 2014 22:50

Co zkusit něco takového? $a=\mathrm{e}^{\ln(a)}$ ( $x\to0\Rightarrow x\ln(a)\to0,t=x\ln(a)$ ) takže
$L&=\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\left(\mathrm{e}^{\ln(a)}\right)^x-1}{x}= \\ &=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln(a)}-1}{x}\cdot\frac{\ln(a)}{\ln(a)}=\ln(a)\cdot\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln(a)}-1}{x\ln(a)}= \\ &=\ln(a)\cdot\lim_{t\to0}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}=\ln(a)\cdot1=\ln(a)$

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2014 22:26

Limita funkce s parametrem

#2 11. 12. 2014 22:50

Re: Limita funkce s parametrem

Zápatí