Matematické Fórum

pavelbr · 12. 12. 2014 19:38

Ahoj,
poradí mi někdo s touto limitou?

$lim x-->0+$ $(\frac{sinx}{x})^{\frac{1}{x}}$

Moc děkuju za ochotu

Argcotgh x · 12. 12. 2014 19:43

Zkusil bych limitovaný výraz převést na exponenciálu, tj. e^(1/x).ln (sin x/x). Pak by se s tím dalo něco udělat.

pavelbr · 12. 12. 2014 19:54

Děkuju, to pak povede na Lopitala. Můžu se zeptat, kolik to vyjde? Měla by vyjít $e^{0}$ , tedy 1. Je to tak?

Argcotgh x · 12. 12. 2014 20:07

Nejsem si jistý, zda to povede na Lopitala, na to je potřeba mít zlomek tvořící neurčitý výraz 0/0 nebo ∞/∞

pavelbr · 13. 12. 2014 08:58

Jestli se nepletu, tak dostávám toto:
$ln(\frac{sinx}{x})/x$ . Je to tak?
Podmínky jsou splněny, čitatel i jmenovatel je 0, tak Lopitala můžu podle mě.
Mohl byste mi říct, jestli jdu na to správně.

jelena · 14. 12. 2014 09:45

Zdravím,

uprava
$\lim_{x\to 0^{+}}$\frac{\sin x}{x}$^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x}\ln $\frac{\sin x}{x}$}$ dává v exponentu neurčitý výraz 0/0, tedy dle limity složené funkce lze na exponent použit l´Hospital. V pořádku? Děkuji.

pavelbr · 19. 12. 2014 23:53

Ano, Lopital v pořádku. Vyjde mi $\frac{x*cosx-sinx}{x*sinx}$ A pak dosadím 0 a mám tvar $\frac{x*1-0}{0}$
Je to správně? Měla by mi vyjít 0. Je to tak?

Jj · 20. 12. 2014 12:32 — Editoval Jj (20. 12. 2014 12:32)

↑ Freedy:

Řekl bych, že ano. Aspoň nevidím důvod, proč ne.

byk7 · 20. 12. 2014 13:25

No, a co kdyby ta limita neexistovala, nebo byla nevlastní?

Jj · 20. 12. 2014 17:08

↑ byk7:

Zdravím.

byk7 napsal(a):
No, a co kdyby ta limita neexistovala, nebo byla nevlastní?

Ano - jenže v daném případě tomu tak není.

byk7 · 20. 12. 2014 23:46

↑ Jj: Jenže to Freedyho postup vůbec neřeší. Řekl bych, že by se to dalo napravit použitím definice, pak už bych asi neměl, co namítnout.

Freedy · 20. 12. 2014 23:55

↑ byk7: tak nám předveď jak najdeš takové delta aby všechny hodnoty z epsilonového okolí jedničky ležely právě v tomto pravém delta-okolí 0...

Jj · 21. 12. 2014 08:08

↑ byk7:

Já jsem to spíš vzal jako jistou modifikaci postupu kolegyně ↑ jelena: pro konkrétní příklad.

pavelbr · 21. 12. 2014 09:37

A tedy, když mi po Lopitalovi vyjde tento výraz , můžu říct, že výsledná limita je 0?
Obecně, když mi výraz například vyjde $\frac{2}{0}$ , kolik vyjde limita, existuje vůbec?

Jj · 21. 12. 2014 13:39

pavelbr napsal(a):
A tedy, když mi po Lopitalovi vyjde tento výraz , můžu říct, že výsledná limita je 0?

Těžko odpovědět, když neuvádíte který výraz.

Obecně, když mi výraz například vyjde $\frac{2}{0}$ , kolik vyjde limita, existuje vůbec?

Záleží na tom, jaká limita. Výraz $\frac{2}{0}$ sám o sobě nemá smysl.

Ovšem

$\lim_{x\to0}\frac{2}{x}$ neexistuje, protože se neshoduje limita zleva a zprava.

a třeba

$\lim_{x\to0}\frac{2}{|x|} = + \infty$

pavelbr · 21. 12. 2014 13:46

děkuju. V té limitě, co jsme vypočítali mi Lopital vyšel $\frac{\frac{x*cosx-sinx}{x*sinx}}{1}$ . Limita jde do 0. Tedy po dosazení mi vyjde 0/1. Můžu říct, že tato limita vyjde 0? Moc děkuji

Jj · 21. 12. 2014 16:50

↑ pavelbr:

Zatím určitě ne. Čitatel očividně nejde k nule - dostáváte tam zase neurčitý výraz typu 0/0.
Takže je nutno spočítat limitu v čitateli:

$\lim_{x\to0+} \frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}$

pavelbr · 21. 12. 2014 17:01

Aha, takže, jestli tomu dobře rozumím, tak můžu znova zLopitalovat, je tomu tak?

Jj · 21. 12. 2014 17:19

↑ pavelbr:

Ano, můžete - a myslím, že bude muset dvakrát.

pavelbr · 21. 12. 2014 17:38

Ano, máte pravdu, po druhém Lopitalo mi vyjde 0/2. Můžu říci, že limita jdoucí do nuly zprava vyjde 0?

Jj · 21. 12. 2014 17:51

↑ pavelbr:

Ano - jen nesmíte zapomenout, že v zadání je jiná limita, vy jste spočítal limitu exponentu. Takže limita výrazu podle zadání bude exp(0) = 1

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2014 19:38

limita

#2 12. 12. 2014 19:43

Re: limita

#3 12. 12. 2014 19:54

Re: limita

#4 12. 12. 2014 20:07

Re: limita

#5 13. 12. 2014 08:58

Re: limita

#6 14. 12. 2014 09:45

Re: limita

#7 19. 12. 2014 23:53

Re: limita

#8 20. 12. 2014 11:44 Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy. Důvod: špatný postup

#9 20. 12. 2014 12:32 — Editoval Jj (20. 12. 2014 12:32)

Re: limita

#10 20. 12. 2014 13:25

Re: limita

#11 20. 12. 2014 17:08

Re: limita

byk7 napsal(a):

#12 20. 12. 2014 23:46

Re: limita

#13 20. 12. 2014 23:55

Re: limita

#14 21. 12. 2014 08:08

Re: limita

#15 21. 12. 2014 09:37

Re: limita

#16 21. 12. 2014 13:39

Re: limita

pavelbr napsal(a):

#17 21. 12. 2014 13:46

Re: limita

#18 21. 12. 2014 16:50

Re: limita

#19 21. 12. 2014 17:01

Re: limita

#20 21. 12. 2014 17:19

Re: limita

#21 21. 12. 2014 17:38

Re: limita

#22 21. 12. 2014 17:51

Re: limita

Zápatí