Matematické Fórum

okip · 12. 12. 2014 20:13

Dobrý den, potřeboval bych poradit s úpravou limity $\lim_{x\to0+} arcsin x^{tgx}$
Podle L'Hospitala pro |0^0| tu limitu převedu na $e^{\lim_{x\to0+}tgx*ln (arcsinx)}$ , což po dosazení nuly vychází na |0*'nekonečno'|, opět upravuji výraz na $\frac{tgx}{\frac{1}{lnarcsinx}}$ , což vždy vede na |0/0| nebo |inf./inf.|. Jenže tady začínají problémy. Nenapadá mě žádná inteligentní úprava, aniž bych se zacyklil ve stále složitějších derivací, takže je to pro mě neřešitelné. Moc děkuji za rady.

Bati · 12. 12. 2014 20:37

Ahoj ↑ okip:.
Zkusil bych to spíš napsat jako $\frac{\ln{\arcsin{x}}}{\text{cotg}\,{x}}$ , protože pak po derivaci zmizí logaritmus. Pak asi nějak upravit a případně znova derivovat, aby zmizel arkussinus.

Argcotgh x · 12. 12. 2014 20:41

Zkusil bych

tg x . ln (arcsin x) =

= tg x . ln (1 + [arcsin x - 1]) = (přičtením a odečtením jedničku tomu "neublížím")

ln (1 + [arcsin x - 1])
= tg x . ___________________ . (arcsin x - 1)
(arcsin x - 1)

Protože

ln (1 + [arcsin x - 1]) ln (1+x)
lim (x-->0) __________________ = lim (x-->0) ________ = 1
(arcsin x - 1) x

máme tedy e^[(lim x-->0) tg x . 1 . (arcsin x - 1) = e^[ 0 . 1 . (0 - 1)] = e^0 = 1

Bati · 12. 12. 2014 21:06

↑ Argcotgh x:
To, co máš za tím "Protože" není pravda, uvědom si, že ta vnitřní funkce nejde k nule.

Argcotgh x · 12. 12. 2014 21:31

Aha, to jsem si neuvědomil, že ta limita není "všeplatná". Je to škoda, protože bych se efektivně zbavil toho logaritmu. Ještě bych zkusil nějak využít vztah arcsin x = arctg (x / √(1-x^2))

okip · 12. 12. 2014 21:56

↑ Bati:
Jo, takhle by to šlo. Díky za radu.

Matematické Fórum

#1 12. 12. 2014 20:13

Limita

#2 12. 12. 2014 20:37

Re: Limita

#3 12. 12. 2014 20:41

Re: Limita

#4 12. 12. 2014 21:06

Re: Limita

#5 12. 12. 2014 21:31

Re: Limita

#6 12. 12. 2014 21:56

Re: Limita

Zápatí