Matematické Fórum

gemat · 13. 12. 2014 18:12 — Editoval gemat (13. 12. 2014 18:36)

Dobrý den, chci se zeptat, jestli je má úvaha správná:
Mám zadanou $\lim_{n\to \infty} \frac{cos(\pi n)}{n}$

Nemůžu se rozhodnout, jestli posloupnost má nebo nemá limitu:
- protože je to limita podílu, tak by se mi to rozpadlo na dvě limity - limitu čitatele (tedy $\lim_{n\to \infty} cos(\pi n)$ a limitu jmenovatele $\lim_{n\to \infty} n$ ), z čehož mi vlastně vyjde, že limita neexistuje, protože limita $\lim_{n\to \infty} cos(\pi n)$ neexistuje. Protože je to však podíl, tak když si dosadím hodnoty, ty hodnoty směrem k nekonečnu budou pořád oscilovat kolem osy x, ke které se budou ale oboustraně blížit, tudíž by de facto tato limita mít řešení měla, a tím řešením by měla být nula.....

Díky za "rozřešení" tohoto problému :) Děkuji

Jj · 13. 12. 2014 18:21

↑ gemat:

Uvažujete správně, čitatel osciluje mezi -1 a 1, při jmenovateli --> nekonečno je limita = 0.

gemat · 13. 12. 2014 18:32 — Editoval gemat (13. 12. 2014 18:32)

↑ Jj:

Děkuji za odpověď.

A dokázat to mám asi takto, že?

$|a_{n}-A|<\varepsilon ; A = 0, \varepsilon =0,1$ ;
$\Rightarrow |\frac{cos(\pi n)}{n}-0|<0,1$ ;
$|\frac{cos(\pi n)}{n}|<0,1$
můžeme odstranit ABS
$\frac{cos(\pi n)}{n}<0,1$

Ale jak se z toho mám dostat dále?

Jj · 13. 12. 2014 18:47

↑ gemat:

Tak to už není moje parketa.

Doufám, že se na to podívá někdo znalejší.

Pavel · 13. 12. 2014 19:04 — Editoval Pavel (13. 12. 2014 19:04)

↑ gemat:

Využij toho, že $\cos(\pi n)=(-1)^n$ pro $n\in\mathbb N$ . Proto

$\left|\frac{cos(\pi n)}{n}\right|=\frac{|cos(\pi n)|}{|n|}=\frac 1n$

gemat · 13. 12. 2014 19:37 — Editoval gemat (13. 12. 2014 19:40)

↑ Pavel:
tudíž vlastně budu mít
$|\frac{(-1)^n}{n}| <0,1$
což znamená
$|(-1)^n|<0,1n$
což mi platí ale až od n=4, ale když si zvolím $\varepsilon = 1,1$ což můžu, protože $\varepsilon \in \mathbb{R}$ tak mi to platí, a tudíž můžu konstatovat, že se limita této posloupnosti blíží nule, ne?

Pavel · 13. 12. 2014 20:58

↑ gemat:

pro n=4 nerovnost jistě neplatí, to by znamenalo, že $|(-1)^4|<0{,}1\cdot 4$ , což evidentně není pravda. Když zvolíš $\varepsilon = 1{,}1$ , tak je to sice fajn, ale definice limity požaduje platnost uvedené nerovnosti pro libovolné $\varepsilon>0$ . Nerovnost pak nemusí platit pro všechna $n$ , stačí, aby platila pro dostatečně velká $n$ .