Matematické Fórum

alfacentauri

Ahoj,

mohli byste mi prosím co nejpodrobněji popsat, jak spočítat momenty setrvačnosti polokoule? (Ve směru $z$ a $y=x$ )
Obrázek je jenom abychom si rozuměli ve značení os, pro výpočet se asi používají sférické souřadnice.

Děkuji

zdenek1 · 13. 12. 2014 19:06

↑ alfacentauri:
vzhledem k ose $z$
Já bych si nejdřív spočítal moment setrvačnosti tenkého disku (na obr. modře). Vyšlo by mi $J=\frac12mr^2$

dále hustota polokoule bude $\varrho$ a její hmotnost $m=\frac23\pi\varrho R^3$
hmotnost elementárního disku je pak $\text dm=\varrho\pi r^2\text dz$
a z Pyth. věty $r=\sqrt{R^2-z^2}$
a nyní bych "posčítal" momenty setrvačnosti všech těch elementárních disků
$J=\int\frac12\varrho \pi r^2\text{d}zr^2=\frac12\varrho \pi \int_{0}^{R}(R^2-z^2)^2\text{d}z=\frac4{15}\varrho\pi R^5=\frac25\cdot\frac23\pi \varrho R^3\cdot R^2=\frac25mR^2$

alfacentauri · 13. 12. 2014 19:28

Aha, tak to není tak těžké když znám moment setrvačnosti disku.
Teď ještě jak to spočítat vzhledem k $x,y$ . Tam se to asi bude dělat pomocí trojného integrálu.

zdenek1 · 13. 12. 2014 20:29

↑ alfacentauri:
To ale nikdo normálně nepočítá přes integrály.
Moment setrvačnosti tělesa vzniklého složením dvou těles s momenty $J_1$ a $J_2$ (ke stejné ose) je prostě součet $J_1+J_2$
Takže si představ polokouli z předchozího příkladu. K ní přiložíš stejnou polokouli tak, aby vytvořily kouli. Moment setrvačnosti vzhledem k ose $z$ bude $J=2\cdot\frac25mr^2$
Jenže u u této koule nerozlišíš osu $z$ od osy $y=x$ - obě osy procházejí středem koule a je to absolutně symetrické.
Takže moment setrvačnosti oné koule vzhledem k ose $y=x$ je také $J=2\cdot\frac25mr^2$
Jenže tato koule je složená ze dvou stejných polokoulí, takže každá z těch polokoulí musí mít k ose $y=x$ poloviční moment setrvačnosti. A to je $J=\frac25mr^2$

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2014 18:41 — Editoval alfacentauri (13. 12. 2014 18:41)

Moment setrvačnosti

#2 13. 12. 2014 19:06

Re: Moment setrvačnosti

#3 13. 12. 2014 19:28

Re: Moment setrvačnosti

#4 13. 12. 2014 20:29

Re: Moment setrvačnosti

Zápatí