Matematické Fórum

Argcotgh x · 15. 12. 2014 21:15

Zdravím,

mám tento problém:

S použitím Taylorova rozvoje vypočtěte limitu

a^x + a^(-x) - 2
lim (n-->0) __________________
x^2

Nevím, jak postupovat, ještě jsme neprobírali ani Taylora, ani jeho použití pro výpočet limit, přesto to mám mít nejpozději do středy vypočítané. Mohl bych poprosit o pomoc? Předem díky!

Pavel · 15. 12. 2014 22:30

↑ Argcotgh x:

viz zde, 10. vzorec zdola

Freedy · 15. 12. 2014 22:43 — Editoval Freedy (15. 12. 2014 22:44)

Ahoj,

jestliže se n ve výrazu vůbec nevyskytuje, znamená to, že se jedná o konstantní funkci (na základě parametrů "a" a x).
Můžeme tedy psát
$\lim_{n\to 0}\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}=\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}$

Vždy si dávej pozor na chytáky

Argcotgh x · 15. 12. 2014 22:49

Ne, to byl překlep, k nule jde skutečně x, ne n. Takže chyták to není.

Argcotgh x · 15. 12. 2014 22:54

Správné zadání je tedy

a^x + a^(-x) - 2
lim (x-->0) __________________
x^2

Bati · 15. 12. 2014 23:10 — Editoval Bati (15. 12. 2014 23:28)

↑ Argcotgh x:
Stačí znát rozvoj exponenciely a vědět, že $a^x=e^{x\ln{a}}$ .

Jiná možnost je převést to pomocí lineárních substitucí na limitu $\ln^2{a}\lim_{x\to0}$\frac{\sinh{x}}{x}$^2$ .

Argcotgh x · 15. 12. 2014 23:28

Takže

a^x = 1 + x. ln a + 1/2 x^2 . (ln a)^2 + 1/6 x^3 . (ln a)¨3 + ...

a^(-x) = 1 - x. ln a + 1/2 x^2 . (ln a)^2 - 1/6 x^3 . (ln a)^3 + ...

a^x + a^(-x) = 2 + 1/2 x^2 . (ln a)^2 + 1/24 x^4 . (ln a)^4 + ...

Když vezmu jen první 2 členy, dostávám

a^x + a^(-x) - 2 2 + [1/2 x^2 . (ln a)^2] - 2 1/2 . x^2 . (ln a)^2 (ln a)^2
lim (x-->0) __________________ = _________________________ = __________________ = ________
x^2 x^2 x^2 2

Je to správný postup?

Bati · 15. 12. 2014 23:32

↑ Argcotgh x:
Postup je správný, jen tam sčítáš 1/2 x^2... s tím samým, což ti dá 1 tu věc. A taky bys tam měl psát něco jako $o(x^2)$ když to dosazuješ do tý limity.

Matematické Fórum

#1 15. 12. 2014 21:15

Limita pomocí Taylorova rozvoje

#2 15. 12. 2014 22:30

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#3 15. 12. 2014 22:43 — Editoval Freedy (15. 12. 2014 22:44)

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#4 15. 12. 2014 22:49

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#5 15. 12. 2014 22:54

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#6 15. 12. 2014 23:10 — Editoval Bati (15. 12. 2014 23:28)

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#7 15. 12. 2014 23:28

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

#8 15. 12. 2014 23:32

Re: Limita pomocí Taylorova rozvoje

Zápatí