Matematické Fórum

kruhovyobjezd · 16. 12. 2014 13:46

Ahoj, je pravda, že svaz musí mít nejmenší a největší prvek?

Rumburak · 16. 12. 2014 14:23

↑ kruhovyobjezd:

Ahoj.

Obecně to není pravda. Viz definice svazu.
Například i množina všech (konečných) reálných čísel s klasickým uspořádáním je svaz.

kruhovyobjezd · 16. 12. 2014 14:26

a může existovat svaz bez nejmenšího prvku??? případně nějaký příklad prosím :)

Rumburak · 16. 12. 2014 14:33

↑ kruhovyobjezd:

Ano, například zmíněná množina všech (konečných) reálných čísel, která určitě nejmenší ani největší prvek nemá,
právě proto jsem tento příklad uvedl.

kruhovyobjezd · 16. 12. 2014 14:58

↑ Rumburak:
Ale naopak, pokud má uspořádaná množina nejmenší a největší prvek, pak je to svaz?

Rumburak

↑ kruhovyobjezd:

Nemusí to být svaz.

Vezměme množinu $M = \{a, b, c\} \cup (0, 1 \rangle$ , kde $a, b, c$ NEJSOU reálná čísla. Klasické uspořádání
intervalu $(0, 1 \rangle$ rozšíříme na celou množinu $M$ tak, aby navíc platilo:

1) $a < x, b < x, c < x$ pro každé $x \in (0, 1 \rangle$ ,

2) $a < b , a < c$ ,

3) prvky $b, c$ nejsou porovnatelné.

Množina $M$ má při tomto uspořádání nejmenší pevek $a$ a největší prvek $1$ , ale svaz to nedává, protože
dvouprvková podmnožina $\{b, c\} \subset M$ nemá supremum v $M$ .