Matematické Fórum

kexholm · 17. 12. 2014 20:50

Ahoj, mám tuhle vyřešenou limitu ale nechápu tam krok se substitucí.

$\lim_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{x}$
tupá aplikace l'Hospitala nepomůže, musí se na to jít jinak:

$\lim_{y\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{-y}}{\frac1y}=\lim_{y\to0^+}\frac{y}{\mathrm{e}^{y}}$
proč si to můžu dovolit tu substituci $y=\frac1x$ ?

teď aplikovat l'Hospitala:
$\lim_{y\to0^+}\frac{1}{\mathrm{e}^{y}}=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac1x}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{\infty}}=\frac1\infty=0$

Jj · 17. 12. 2014 21:49 — Editoval Jj (17. 12. 2014 21:51)

↑ kexholm:

Dobrý den.

Řekl bych, že zrovna takto si ji dovolit nemůžete. Ale takto ano:

$y=\frac{1}{x},\quad x\to 0+ \Rightarrow y \to +\infty$

$\Rightarrow \lim_{y\to \infty} \frac{y}{e^y}$ - teď l'Hospital

Tato limita $\lim_{y\to0+}\frac{y}{e^y}$ ani podmínky pro l'Hospitala nesplňuje (a ani ho pro výpočet nepotřebuje - ovšem je jen náhoda, že se = 0).

vlado_bb · 17. 12. 2014 21:56

↑ kexholm:Este na okraj - neviem, nakolko tolerantni su na vasej fakulte, ale taketo nieco: $\dots=\frac{1}{\mathrm{e}^{\infty}}=\frac1\infty=0$ ti nemusi prejst. Co je to za zvlastny obrazok napriklad $\frac{1}{\infty}$ ?

Pavel · 17. 12. 2014 23:12

↑ vlado_bb:

Jen pro pořádek: při zavádění pojmu nevlastních limit funkcí nebo limit funkcí v nevlastních bodech se rozšiřuje množina reálných čísel $\mathbb R$ o nové dva prvky $+\infty$ a $-\infty$ . Definuje se tak rozšířená množina reálných čísel $\mathbb R^*:=\mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}$ . Na ní je výraz $\frac{1}{\infty}$ , resp. $\frac{1}{+\infty}$ korektně definován jako $0$ , pokud samozřejmě platí, že symbol $\infty$ označuje totéž jako $+\infty$ .

vlado_bb · 17. 12. 2014 23:28

↑ Pavel:Myslim, ze je elegantnejsie vyhnut sa tymto veciam. Je mozne zaviest aj nevlastne limity bez operacie delenia symblom nekonecna.

Pavel · 17. 12. 2014 23:37

↑ vlado_bb:

To je samozřejmě pravda. Zda je to elegantnější, je samozřejmě věc názoru. Ze své zkušenosti můžu říct, že většina studentů 1. ročníků si počítání s nevlastními čísly ve smyslu sčítání, odčítání, násobení a dělení v $\mathbb R^*$ docela rychle osvojí. Samozřejmě si musejí pohlídat, že ne vše je definováno.

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2014 20:50

Limita podle l'Hospitala

#2 17. 12. 2014 21:49 — Editoval Jj (17. 12. 2014 21:51)

Re: Limita podle l'Hospitala

#3 17. 12. 2014 21:56

Re: Limita podle l'Hospitala

#4 17. 12. 2014 23:12

Re: Limita podle l'Hospitala

#5 17. 12. 2014 23:28

Re: Limita podle l'Hospitala

#6 17. 12. 2014 23:37

Re: Limita podle l'Hospitala

Zápatí