Matematické Fórum

pavelbr · 18. 12. 2014 20:24

Ahoj, potřeboval bych poradir se dvěma neurčitými integrály?

Integrál z výrazu $\frac{sinx+1}{cosx+1}$

Integrál z výrazu $\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-x}}$

Děkuju

Jj · 19. 12. 2014 10:00 — Editoval Jj (19. 12. 2014 12:38)

↑ pavelbr:

Dobrý den.

$\int \frac{sinx+1}{cosx+1}\,dx = \int \frac{sinx}{cosx+1}\,dx+\int \frac{1}{cosx+1}\,dx$

První přímo integrovat, ve druhém upravit jmenovatel na kosinus polovičního úhlu a přímo integrovat

$\int \frac{1}{\cos x+1}\,dx=\int \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}+1-\sin^2\frac{x}{2}}\,dx=\cdots$

Řekl bych, že druhá úloha bude zamotanější:

$I=\int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-x}}\,dx$ Substituce $\frac{1-x}{2-x}=t^2, \Rightarrow x = \frac{2 t^2-1}{t^2-1},\,dx = -\frac{2 t}{(t^2-1)^2}\,dt$

$I=-\int t \cdot \frac{2 t}{(t^2-1)^2}\,dt=\cdots$ + rozložení na parciální zlomky

To už dáte.

pavelbr · 19. 12. 2014 20:35

Můžu mít jednu otázku? Kdybych ten integrál $\frac{1}{cosx+1}$ řešil pomocí substituce tg(x/2).
mně vyjde toto: $\frac{1}{\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+t}*\frac{2}{1+t^{2}}$ Po úpravě mi ale vyjde integrál z 1. Nevíte, kde dělám chybu?

Jj · 19. 12. 2014 20:45

↑ pavelbr:

Myslím, že ve jmenovateli máte překlep (t místo 1), ale to s tím nesouvisí. Proč by to měla nutně být chyba?

pavelbr · 19. 12. 2014 21:04

Takže výsledek bude 2* integrál z 1? To znamená 2t, po vrácení substituce 2*tg(x/2). Je to správně?

Jj · 19. 12. 2014 21:11 — Editoval Jj (19. 12. 2014 21:18)

↑ pavelbr:

Řekl bych, žeb součinitele 2:

$\int \frac{1}{\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+1}\cdot \frac{2}{1+t^{2}}\,dt=\int dt = t=tg \frac{x}{2}+ C$

Podle této rady ↑ Jj: dostanete stejný výsledek bez substituce:

$\int \frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}+1-\sin^2\frac{x}{2}}\,dx=\int \frac{1}{2 \cos^2\frac{x}{2}}\,dx=tg(x/2) + C$

pavelbr · 19. 12. 2014 21:33

Děkuju, sedí to.

Mohl bych mít dotaz ohledně jednoho příkladu ještě? Moc by mi to pomohlo?

integrál $\frac{cosx}{cos^{2}x+4}$

Moc děkuju

Jj · 19. 12. 2014 21:42

↑ pavelbr:

$\int \frac{cosx}{cos^{2}x+4}\,dx = \int \frac{cosx}{5 - sin^{2}x}\,dx$

+ substituce $\sin x = \sqrt{5}\cdot t$

pavelbr · 19. 12. 2014 22:00

Moc děkuju, ale v mezivýpočtu jsem se zasekl na integrálu $\frac{1}{1-t^{2}}$ . Pomohl byste mi?

Jj · 19. 12. 2014 22:13

↑ pavelbr:

$\int \frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1+t}-\frac{1}{t-1}\right)\,dt$

pavelbr · 19. 12. 2014 23:01

Tomu vůbec nechápu, jak jste na to přišel. Můžete mi to prosím vysvětlit?

Jj · 20. 12. 2014 11:32

↑ pavelbr:

V podstatě tak, že si to "zhruba" pamatuju a pak vyzkouším, jak je to přesně.

Ovšem v podstatě jde rozklad výrazu na parciální zlomky, tzn. lze uplatnit obecné postupy (řekl bych, že se bez nich při studiu integrálů určitě neobejdete).

Argcotgh x · 20. 12. 2014 13:06

A neplatí ono prostě

∫ 1/ ( 1 - x^2) dx = argtgh x = 1/2 ln ((x+1)/(x-1))

(resp. argcotgh x, záleží na definičním oboru),

tj. "tabulkový" inegrál?

Argcotgh x · 20. 12. 2014 13:12

Aha, ono už to zase funguje. Takže

$\int_{}^{}\frac{1}{1-x^2}=argtgh x=\frac{1}{2}ln|\frac{x+1}{x-1}|$

Čímž zároveň opravuju předchozí příspěvek, ten podíl (x+1)/(x-1) musí být v absolutní hodnotě.

Argcotgh x · 20. 12. 2014 13:23

Ještě ty definiční obory

$\int_{}^{}\frac{1}{1-x^2}dx= argtgh x,x\in (-1;1)$

$\int_{}^{}\frac{1}{1-x^2}dx= argcotgh x,x\in (-\infty ;-1)\cup (1;\infty )$

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2014 20:24

Neurčitý integrál

#2 19. 12. 2014 10:00 — Editoval Jj (19. 12. 2014 12:38)

Re: Neurčitý integrál

#3 19. 12. 2014 20:35

Re: Neurčitý integrál

#4 19. 12. 2014 20:45

Re: Neurčitý integrál

#5 19. 12. 2014 21:04

Re: Neurčitý integrál

#6 19. 12. 2014 21:11 — Editoval Jj (19. 12. 2014 21:18)

Re: Neurčitý integrál

#7 19. 12. 2014 21:33

Re: Neurčitý integrál

#8 19. 12. 2014 21:42

Re: Neurčitý integrál

#9 19. 12. 2014 22:00

Re: Neurčitý integrál

#10 19. 12. 2014 22:13

Re: Neurčitý integrál

#11 19. 12. 2014 23:01

Re: Neurčitý integrál

#12 20. 12. 2014 11:32

Re: Neurčitý integrál

#13 20. 12. 2014 13:06

Re: Neurčitý integrál

#14 20. 12. 2014 13:12

Re: Neurčitý integrál

#15 20. 12. 2014 13:23

Re: Neurčitý integrál

Zápatí