Matematické Fórum

pavelbr · 22. 12. 2014 11:18

Ahoj, poradil by mi někdo, kde dělám chybu v tomto příkladě?

Máme dif. rovnici 1. řádu $2(t^{2}+t-2)*x´=3(x^{2}-1)$

Po separaci proměnných, vyřešení daných integrálů (parciální zlomky), mi vyjde toto:

$\frac{1}{6}*ln|x-1|-\frac{1}{6}*ln|x+1|=\frac{1}{2}*ln|t+2|-\frac{1}{2}*ln|t-1|+ln|C|$

Po odlogaritmování mi vyjde toto: $\frac{|x-1|}{|x+1|}=6*\frac{|t+2|*|C|}{|t-1|}$

Počáteční podmínku máme tuto x(0)=0

Po dosazení mi vyjde ovšem $x=\frac{3t}{t-4}$ . Má však vyjít $x=\frac{3t}{4-t}$

Může se někdo na toto kouknout? Moc děkuju

pavelbr · 22. 12. 2014 11:20

zde zadání : http://www.wolframalpha.com/input/?i=2% … 28x^2-1%29

Jj · 22. 12. 2014 12:36 — Editoval Jj (22. 12. 2014 13:04)

↑ pavelbr:

Dobrý den.

$2(t^2+t-2)\cdot x'=3(x^2-1)$

Řekl bych, že

$2\int \frac{dx}{x^2-1}=3\int \frac{dt}{t^2+t-2}$
...
$\ln \left|\frac{1-x}{1+x}\right|=\ln \left|\frac{1-t}{2+t}\right|+\ln C$

$\frac{1-x}{1+x}=C\cdot \frac{1-t}{2+t}$

Poč. podmínka x(0) = 0 --> C = 2
...
$\Rightarrow x = \frac{3t}{4-t}$

Poznámka - s integracemi jsem se netrápil, zadal jsem je Wolframu (to já už můžu).

Edit - doplněno:

Ještě rozklad na parciální zlomky - tam bude asi nějaká chybka:

$\frac{2}{x^2-1}= \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$

$\int \frac{3}{t^2+t-2} = \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+2}$

pavelbr · 22. 12. 2014 15:35

Děkuju, jen nechápu jednomu kroku, tam jsem udělal chybu. Vytvořil jsem parciální zlomky, stejné jako u Vás.
Ale jakto, že Vám vyšlo toto? $\ln \left|\frac{1-x}{1+x}\right|=\ln \left|\frac{1-t}{2+t}\right|+\ln C$
Mně právě vyšla jinak znaménka: $ln|\frac{x-1}{x+1}|=ln|\frac{t-1}{t+2}|+ln|C|$

Můžete mi vysvětlit, proč tomu tak je? Pak mi to vyjde.

Moc Vám děkuji

Bati · 22. 12. 2014 16:14

↑ pavelbr:
$|x|=|-x|\quad\forall x$ .

Jj · 22. 12. 2014 18:40

↑ pavelbr:

Uvědomte si také, že jde o integraci obou stran rovnice. Pokud se změní znaménka všech členů na obou stranách,
tak výsedek integrace je jen "opticky" jiný.

Ovšem mezi vašimi vyýsledky

tady

↑ pavelbr: $\frac{|x-1|}{|x+1|}=6*\frac{|t+2|*|C|}{|t-1|}$

a tady

↑ pavelbr:

$ln|\frac{x-1}{x+1}|=ln|\frac{t-1}{t+2}|+ln|C|$

je zásadní rozdíl - argumenty logaritmů na pravé straně jsou vůči sobě "převrácené", čili někde v předchozím výpočtu zřejmě nebyla správná znaménka.

Primitivní funkce mohou nakonec být po integraci téže funkce podle použité metody vyjádřeny různě - vše je v pořádku, pokud je jejich rozdíl konstatní hodota.

pavelbr · 23. 12. 2014 22:15

Moc děkuju

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2014 11:18

Diferenciální rovnice

#2 22. 12. 2014 11:20

Re: Diferenciální rovnice

#3 22. 12. 2014 12:36 — Editoval Jj (22. 12. 2014 13:04)

Re: Diferenciální rovnice

#4 22. 12. 2014 15:35

Re: Diferenciální rovnice

#5 22. 12. 2014 16:14

Re: Diferenciální rovnice

#6 22. 12. 2014 18:40

Re: Diferenciální rovnice

#7 23. 12. 2014 22:15

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí