Matematické Fórum

Martin95k · 25. 12. 2014 17:35

Dborý den, chtěl bych zde někoho poprosit o popostrčení.

Chtěl bych spočítat $\int_{}^{}\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{1-x}$

$\frac{(B-A)x+A+B}{(1+x)(1-x)}$

Porovnám tedy x se stejnými mocninami, a vidím, že to je jen konstanta:

$A+B=1$ ...to je hodně neznámých, dosadím tedy za A a B čísla, která vyhovují rovnici: PS: Nevím, jestli se to takhle může

$A=\frac{1}{2}$ a $B=\frac{1}{2}$

Dostávám parciální zlomky:

$\int_{}^{}\frac{1}{1-x^{2}}=\int_{}^{}\frac{\frac{1}{2}}{1+x}dx+\int_{}^{}\frac{\frac{1}{2}}{1-x}dx$

$\frac{1}{2}\cdot \ln|1+x|+\frac{1}{2}\ln |1-x|$

$\frac{1}{2}(\ln|1+x|+\ln |1-x|)$

$\frac{1}{2}\cdot \ln |1-x^{2}|$

Jenže správný výsledek je:

$\ln |\frac{1+x}{1-x}|$

Nevidíte prosím chybu nebo špatný postup? Díky

Bati · 25. 12. 2014 17:37

Ahoj,
problém je v integraci funkce $\frac{1}{1-x}$ - vyskočí tam mínus z lineární substituce $t=1-x$ .

Martin95k · 25. 12. 2014 18:03

↑ Bati:Děkuju, toho jsem si nevšiml.

Dělal jsem tu substituci bez většího přemejšlení, tak mě tam nic nevyskočilo :)

Příště se na to musím dát pozor

Martin95k · 25. 12. 2014 18:10

Ale stále mi tam habruje ta $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}\cdot \ln|1+x|-\frac{1}{2}\ln |1-x|$

$\frac{1}{2}(\ln|1+x|-\ln |1-x|)$

$\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|$

Bati · 25. 12. 2014 18:14

Ta polovina je správně. Jestli tomu nevěříš, tak si to zderivuj. S tím mínusem taky nikdy nevím, kolik se jich tam objeví, ale vím jak se derivuje $f(-x)$ a to stačí, abys to uhádl.

Martin95k · 25. 12. 2014 19:07

Už tomu věřím.

Děkuju

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2014 17:35

Rozklad na parciální zlomky

#2 25. 12. 2014 17:37

Re: Rozklad na parciální zlomky

#3 25. 12. 2014 18:03

Re: Rozklad na parciální zlomky

#4 25. 12. 2014 18:10

Re: Rozklad na parciální zlomky

#5 25. 12. 2014 18:14

Re: Rozklad na parciální zlomky

#6 25. 12. 2014 19:07

Re: Rozklad na parciální zlomky

Zápatí