Matematické Fórum

aferon · 25. 12. 2014 17:53

Zdravím, nepomohl by mi někdo s tímto příkladem? Nevím jak na to a už vůbec nechápu co tam mam dělat s tím integrálem. Děkuji.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/26390_integral.jpg

nanny1 · 26. 12. 2014 12:22 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 12:32)

Ahoj ↑ aferon:, :) tím integrálem se v tomhle případě definuje skalární součin (jenom není euklidovský).
My teda hledáme takové polynomy nejvýše 4.stupně (jsme v P4), které když vynásobíme s jednotlivými zadanými prvky a zintegrujeme, vyjde nula (tj. ty hledané polynomy generují ortogonální doplněk k U - jsou k prvkům U kolmé). Použijeme obecný předpis polynomu 4.stupně: $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$ , stejně to uděláš s ostatními prvky. Budeme mít 3 rovnice pro 5 neznámých, např. Gaussovou eliminací vyřešíme (budou 3 zvolené parametry, protože je vidět, že zadané polynomy jsou lineárně závislé, ale to bude vidět každopádně i z GE). No a to už to bude v podstatě hotový. :) Kdyžtak napiš, jak jsi daleko a jak to jde. Určitě by měly vyjít polynomy, kde bude $x^2$ a $x^4$ , protože ty nám chybí.

aferon · 26. 12. 2014 12:58 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:35)

↑ nanny1:
a nejdřív to tedy roznásobím?
to mi vyšlo $\int_{0}^{1}(a(x^{7}+x^{5}+x^{12})+b(x^{6}+x^{4}+x^{10})+c(x^{5}+x^{4}+x^{8})+d(x^{4}+x^{2}+x^{6})+e(x^{3}+x+x^{4})$

nanny1 · 26. 12. 2014 13:38

Ty polynomy Ti vyjdou až na konci... :) Musíš nejdřív vypočítat a,b,c,d,e a pak z toho dostaneš ty polynomy - prvky báze ortogonálního doplňku. Polynom v(x) závisí na x a musí se taky integrovat, navíc takle by to ani nebyl skalární součin. Jenom vypočítáš tři intergrály $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$ , $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x-2)dx = 0$ a $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(2x^3+3x-2)dx = 0$ . Pomocí GE vypočítáš neznámé a,b,c,d,e, z čehož si tři neznámé zvolíš jako parametry a zbývající dvě dopočítáš. Dosazením do obecného předpisu polynomu 4.stupně získáš tři polynomy - bázi. Napiš třeba, co Ti vyšlo a případně to ještě doděláme, ale myslím, že pak už Ti to bude jasný.

Eratosthenes

ahoj ↑ aferon:,

takto to nemůžeš napsat. Každý polynom je vektor. Vektor nemusí být jenom šipka, ale může to být třeba řešení soustavy rovnic nebo (jako v tomto případě) polynom. Označení už tam máš - např. u_1 = x^3+x.

Takže takto:

$u_1*u_2 = (x^3+x) * (x-2) = \int_{0}^{1}(x^{3}+x)\cdot(x-2)dx=0$

(pokud to platí - nepočítal jsem)

Pozor - ta hvězdička není násobení polynomů (to je označeno tečkou). Ta hvězdička je skalární součin, v tomto případě integrál od nuly do jedné.

nanny1 · 26. 12. 2014 13:45

To jsi roznásobil nějak divně. Nejvyšší mocnina je $x^{7}$ a nezapomeň na závorky a na dx. ;)

aferon · 26. 12. 2014 13:59 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:59)

↑ nanny1:
Takže mám vzít ten první integrál a z integrovat a tak to udělat i u dalších dvou a to co mi vyjde zapsat do matice? a vypočítat pak a b c d e ?

nanny1 · 26. 12. 2014 14:01 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 14:03)

$\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$ = $\int_{0}^{1}(ax^7+ax^5+bx^6+bx^4+cx^5+cx^3+dx^4+dx^2+ex^3+ex)dx$

Jo, přesně tak. :)

aferon · 26. 12. 2014 14:06

↑ nanny1:
a budu mít v té matici zlomky?

nanny1 · 26. 12. 2014 14:11

Jasně, můžeš to leda vynásobit společným jmenovatelem...

aferon · 26. 12. 2014 14:13

↑ nanny1:

a až mi vyjde a b c d e tak to dosadím do obecného polynomu 4. stupně jak jsi psala a jak získám ty další dvě báze?

nanny1 · 26. 12. 2014 14:18

Ta soustava má nekonečně mnoho řešení, lineárně nezávislá řešení získáš vyjádřením těch parametrů. Parametry jsou tři, z nich budeš mít tři prvky báze. Bude asi lepší, když to nejdřív spočítáš, pak už to uvidíš nebo se na to můžeme kouknout spolu, jestli nebudeš vědět. S konkrétním výsledkem se to líp vysvětluje. :)

aferon · 26. 12. 2014 14:20

↑ nanny1:
Dobře, jdu počítat :)

aferon · 26. 12. 2014 15:18 — Editoval aferon (26. 12. 2014 17:54)

↑ aferon:
tak po dlouhém počítání my vyšla matice

a b c d e
245 288 350 448 630

-14 -18 -25 -40 -90

294 324 350 336 0

A upravená matice:

-14. -18. -25. -40 -90

0. 54. 91. 504. 1890

0. 0. 0. .0. 0.

Ale ted nevim jak z toho ziskat nezname

nanny1 · 26. 12. 2014 21:44

Bezva, snad je to dobře. Každopádně se jeden řádek měl vynulovat - tak, jak to máš. No a teď máme dvě rovnice pro 5 neznámých, takže nekonečně mnoho řešení a řeší se to klasicky jako vždycky - musíme 3 neznámé určit jako parametry a zbylé dvě dopočítat. Takže si např. zvolíš c=r, d=s, e=t a dopočítáš a,b. Co Ti vyšlo? :)

aferon · 26. 12. 2014 22:37 — Editoval aferon (26. 12. 2014 22:38)

↑ nanny1:
tak když si dosadím do druhého řádku je to :

54 +91r +504s+1890t=0 a ted mám z toho vyjádřit nějaký parametr?

nanny1 · 26. 12. 2014 22:57 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:02)

Máš z toho vyjádřit b a z prvního řádku vyjádřit a. Je to 54b+91r+....

file:///C:/Users/ADMIN/Downloads/SoustavyLinRovnic.pdf Str.21

aferon · 26. 12. 2014 23:00 — Editoval aferon (26. 12. 2014 23:06)

↑ nanny1:
pro b takto? $b=-\frac{91}{54}r-\frac{504}{54}s-\frac{1890}{54}t$

pro a takto?

nanny1 · 26. 12. 2014 23:05

Jo a stejně se vypočítá a.

aferon · 26. 12. 2014 23:07

↑ nanny1:

a až to pak budu mít vypočítaný, kam to potom dosadím?

nanny1 · 26. 12. 2014 23:14 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:19)

Napíšeš si: a=.., b=..., c=r, d=s, e=t. Pak si to napíšeš jako vektory, např. $\vec{u_{1}}=r(..., -\frac{91}{54}, 1, 0, 0)$ Stejně tak vyjádříš vektory pro s, t. No a ty vektory (závorky) jsou řešením.
Pak už jenom dosadíš do polynomu za a,b,c,d,e.

aferon · 26. 12. 2014 23:21

↑ nanny1:

pro a mi vyšlo a=-13r -72s-270t

aferon · 26. 12. 2014 23:24

↑ aferon:

a cože si napíšu jako vektory?

nanny1 · 26. 12. 2014 23:31 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:37)

Pro a mi to vychází jinak... Dosadil jsi za b, co jsi předtím vypočítal?
No třeba pro s: První složka vektoru je a: Je v a nějaké s? Jestli jo, tak to napiš do první složky. Druhá složka - b: u s je $-\frac{504}{54}$ , třetí složka - c=r, takže ta bude nulová, čtvrtá složka - d=s, takže to bude 1, poslední složka - e=t, bude nulová. Stejně pro r, t.

aferon · 26. 12. 2014 23:34

↑ nanny1:

takto jsem počítal
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/33276_ppppppppppppppppppppp.jpg

Matematické Fórum

#1 25. 12. 2014 17:53

ortogonální doplněk

#2 26. 12. 2014 12:22 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 12:32)

Re: ortogonální doplněk

#3 26. 12. 2014 12:58 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:35)

Re: ortogonální doplněk

#4 26. 12. 2014 13:38

Re: ortogonální doplněk

#5 26. 12. 2014 13:44 — Editoval Eratosthenes (26. 12. 2014 13:45)

Re: ortogonální doplněk

#6 26. 12. 2014 13:45

Re: ortogonální doplněk

#7 26. 12. 2014 13:59 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:59)

Re: ortogonální doplněk

#8 26. 12. 2014 14:01 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 14:03)

Re: ortogonální doplněk

#9 26. 12. 2014 14:06

Re: ortogonální doplněk

#10 26. 12. 2014 14:11

Re: ortogonální doplněk

#11 26. 12. 2014 14:13

Re: ortogonální doplněk

#12 26. 12. 2014 14:18

Re: ortogonální doplněk

#13 26. 12. 2014 14:20

Re: ortogonální doplněk

#14 26. 12. 2014 15:18 — Editoval aferon (26. 12. 2014 17:54)

Re: ortogonální doplněk

#15 26. 12. 2014 21:44

Re: ortogonální doplněk

#16 26. 12. 2014 22:37 — Editoval aferon (26. 12. 2014 22:38)

Re: ortogonální doplněk

#17 26. 12. 2014 22:57 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:02)

Re: ortogonální doplněk

#18 26. 12. 2014 23:00 — Editoval aferon (26. 12. 2014 23:06)

Re: ortogonální doplněk

#19 26. 12. 2014 23:05

Re: ortogonální doplněk

#20 26. 12. 2014 23:07

Re: ortogonální doplněk

#21 26. 12. 2014 23:14 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:19)

Re: ortogonální doplněk

#22 26. 12. 2014 23:21

Re: ortogonální doplněk

#23 26. 12. 2014 23:24

Re: ortogonální doplněk

#24 26. 12. 2014 23:31 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:37)

Re: ortogonální doplněk

#25 26. 12. 2014 23:34

Re: ortogonální doplněk