Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 12. 2014 17:53

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

ortogonální doplněk

Zdravím, nepomohl by mi někdo s tímto příkladem? Nevím jak na to a už vůbec nechápu co tam mam dělat s tím integrálem. Děkuji.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/26390_integral.jpg

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) aferon)

#2 26. 12. 2014 12:22 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 12:32)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Ahoj ↑ aferon:, :)  tím integrálem se v tomhle případě definuje skalární součin (jenom není euklidovský).
My teda hledáme takové polynomy nejvýše 4.stupně (jsme v P4), které když vynásobíme s jednotlivými zadanými prvky a zintegrujeme, vyjde nula (tj. ty hledané polynomy generují ortogonální doplněk k U - jsou k prvkům U kolmé). Použijeme obecný předpis polynomu 4.stupně: $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$, stejně to uděláš s ostatními prvky. Budeme mít 3 rovnice pro 5 neznámých, např. Gaussovou eliminací vyřešíme (budou 3 zvolené parametry, protože je vidět, že zadané polynomy jsou lineárně závislé, ale to bude vidět každopádně i z GE). No a to už to bude v podstatě hotový. :) Kdyžtak napiš, jak jsi daleko a jak to jde. Určitě by měly vyjít polynomy, kde bude $ x^2$ a $ x^4$, protože ty nám chybí.

Offline

 

#3 26. 12. 2014 12:58 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:35)

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
a nejdřív to tedy roznásobím?
to mi vyšlo $\int_{0}^{1}(a(x^{7}+x^{5}+x^{12})+b(x^{6}+x^{4}+x^{10})+c(x^{5}+x^{4}+x^{8})+d(x^{4}+x^{2}+x^{6})+e(x^{3}+x+x^{4})$

Offline

 

#4 26. 12. 2014 13:38

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Ty polynomy Ti vyjdou až na konci... :) Musíš nejdřív vypočítat a,b,c,d,e a pak z toho dostaneš ty polynomy - prvky báze ortogonálního doplňku. Polynom v(x) závisí na x a musí se taky integrovat, navíc takle by to ani nebyl skalární součin. Jenom vypočítáš tři intergrály $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$, $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x-2)dx = 0$ a $\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(2x^3+3x-2)dx = 0$. Pomocí GE vypočítáš neznámé a,b,c,d,e, z čehož si tři neznámé zvolíš jako parametry a zbývající dvě dopočítáš. Dosazením do obecného předpisu polynomu 4.stupně získáš tři polynomy - bázi. Napiš třeba, co Ti vyšlo a případně to ještě doděláme, ale myslím, že pak už Ti to bude jasný.

Offline

 

#5 26. 12. 2014 13:44 — Editoval Eratosthenes (26. 12. 2014 13:45)

Eratosthenes
Příspěvky: 2617
Reputace:   132 
 

Re: ortogonální doplněk

ahoj ↑ aferon:,

takto to nemůžeš napsat. Každý polynom je vektor. Vektor nemusí být jenom šipka, ale může to být třeba řešení soustavy rovnic nebo (jako v tomto případě) polynom. Označení už tam máš - např. u_1 = x^3+x.

Takže takto:

$u_1*u_2 = (x^3+x) * (x-2) = \int_{0}^{1}(x^{3}+x)\cdot(x-2)dx=0$

(pokud to platí - nepočítal jsem)

Pozor - ta hvězdička není násobení polynomů (to je označeno tečkou). Ta hvězdička je skalární součin, v tomto případě integrál od nuly do jedné.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 26. 12. 2014 13:45

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

To jsi roznásobil nějak divně. Nejvyšší mocnina je $x^{7}$ a nezapomeň na závorky a na dx. ;)

Offline

 

#7 26. 12. 2014 13:59 — Editoval aferon (26. 12. 2014 13:59)

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
Takže mám vzít ten první integrál a z integrovat a tak to udělat i u dalších dvou a to co mi vyjde zapsat do matice? a vypočítat pak a b c d e ?

Offline

 

#8 26. 12. 2014 14:01 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 14:03)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

$\int_{0}^{1}(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)(x^3+x)dx$ = $\int_{0}^{1}(ax^7+ax^5+bx^6+bx^4+cx^5+cx^3+dx^4+dx^2+ex^3+ex)dx$

Jo, přesně tak. :)

Offline

 

#9 26. 12. 2014 14:06

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
a budu mít v té matici zlomky?

Offline

 

#10 26. 12. 2014 14:11

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Jasně, můžeš to leda vynásobit společným jmenovatelem...

Offline

 

#11 26. 12. 2014 14:13

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:

a až mi vyjde  a b c d e tak to dosadím do obecného polynomu 4. stupně jak jsi  psala  a jak získám ty další dvě báze?

Offline

 

#12 26. 12. 2014 14:18

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Ta soustava má nekonečně mnoho řešení, lineárně nezávislá řešení získáš vyjádřením těch parametrů. Parametry jsou tři, z nich budeš mít tři prvky báze. Bude asi lepší, když to nejdřív spočítáš, pak už to uvidíš nebo se na to můžeme kouknout spolu, jestli nebudeš vědět. S konkrétním výsledkem se to líp vysvětluje. :)

Offline

 

#13 26. 12. 2014 14:20

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
Dobře, jdu počítat :)

Offline

 

#14 26. 12. 2014 15:18 — Editoval aferon (26. 12. 2014 17:54)

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ aferon:
tak po dlouhém počítání my vyšla matice

a             b            c           d          e
245        288       350      448       630

-14        -18         -25       -40        -90

294         324       350     336         0


A upravená matice:


-14.      -18.        -25.       -40      -90

0.           54.        91.        504.      1890

0.             0.          0.           .0.           0.






Ale ted nevim jak z toho ziskat nezname

Offline

 

#15 26. 12. 2014 21:44

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Bezva, snad je to dobře. Každopádně se jeden řádek měl vynulovat - tak, jak to máš. No a teď máme dvě rovnice pro 5 neznámých, takže nekonečně mnoho řešení a řeší se to klasicky jako vždycky - musíme 3 neznámé určit jako parametry a zbylé dvě dopočítat. Takže si např. zvolíš c=r, d=s, e=t a dopočítáš a,b. Co Ti vyšlo? :)

Offline

 

#16 26. 12. 2014 22:37 — Editoval aferon (26. 12. 2014 22:38)

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
tak když si dosadím do druhého řádku je to :

54 +91r +504s+1890t=0 a ted mám z toho vyjádřit nějaký parametr?

Offline

 

#17 26. 12. 2014 22:57 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:02)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Máš z toho vyjádřit b a z prvního řádku vyjádřit a. Je to 54b+91r+....

file:///C:/Users/ADMIN/Downloads/SoustavyLinRovnic.pdf Str.21

Offline

 

#18 26. 12. 2014 23:00 — Editoval aferon (26. 12. 2014 23:06)

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:
pro b takto?  $b=-\frac{91}{54}r-\frac{504}{54}s-\frac{1890}{54}t$


pro a  takto?

Offline

 

#19 26. 12. 2014 23:05

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Jo a stejně se vypočítá a.

Offline

 

#20 26. 12. 2014 23:07

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:

a až to pak budu mít vypočítaný, kam to potom dosadím?

Offline

 

#21 26. 12. 2014 23:14 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:19)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Napíšeš si: a=.., b=..., c=r, d=s, e=t. Pak si to napíšeš jako vektory, např.  $\vec{u_{1}}=r(..., -\frac{91}{54}, 1, 0, 0)$ Stejně tak vyjádříš vektory pro s, t. No a ty vektory (závorky) jsou řešením.
Pak už jenom dosadíš do polynomu za a,b,c,d,e.

Offline

 

#22 26. 12. 2014 23:21

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:

pro a mi vyšlo  a=-13r -72s-270t

Offline

 

#23 26. 12. 2014 23:24

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ aferon:

a cože si napíšu jako vektory?

Offline

 

#24 26. 12. 2014 23:31 — Editoval nanny1 (26. 12. 2014 23:37)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: ortogonální doplněk

Pro a mi to vychází jinak... Dosadil jsi za b, co jsi předtím vypočítal?
No třeba pro s: První složka vektoru je a: Je v a nějaké s? Jestli jo, tak to napiš do první složky. Druhá složka - b: u s je $-\frac{504}{54}$, třetí složka - c=r, takže ta bude nulová, čtvrtá složka - d=s, takže to bude 1, poslední složka - e=t, bude nulová. Stejně pro r, t.

Offline

 

#25 26. 12. 2014 23:34

aferon
Příspěvky: 398
Reputace:   
 

Re: ortogonální doplněk

↑ nanny1:

takto jsem počítal
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/33276_ppppppppppppppppppppp.jpg

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson