Matematické Fórum

inter · 28. 12. 2014 10:22

Prosím o pomoc z integrováním:
$\int_{0}^{2\pi }(\int_{cosy}^{1}x^{4}dx)dy$

Toto mi vyšlo podle dx
$\int_{cosy}^{1}x^{4}dx=\frac{1}{5}-\frac{cos^5{y}}{5}$

Pokračuji podle dy
$\int_{0}^{2\pi }(\frac{1}{5}-\frac{cos^5{y}}{5})dy=\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{5} dy -\int_{0}^{2\pi }\frac{cos^5{y}}{5}dy$

Dále problém nastává v tom, že nevím jak zintegrovat cos^5y. Substituce? Nevychází mi pak výsledek.
$
Děkuji za radu.

Jj · 28. 12. 2014 11:24 — Editoval Jj (28. 12. 2014 11:26)

↑ inter:

Dobrý den.

Řekl bych, že třeba úprava

$\int \cos^5y\,dy=\int \cos^4y\cdot \cos y\,dy=\int (1-\sin^2y)^2\cdot \cos y\,dy$

a ted substituce: $\sin y = t, \cos y\, dy = dt$

inter · 28. 12. 2014 11:56

$\int_{}^{}(cos^{5}y) dy=(\int_{}^{}(1-sin^{2}y)^2cosydy=|t=siny,dt=cosydy|=\int_{}^{}(1-t^2)^{2}dt$
$\int_{}^{}(1-t^2)^{2}dt=\int_{}^{}(1-2t^2-t^4)dt=t-\frac{2}{3}t^3-\frac{1}{5}t^5$

vrátíme subst.

$\int_{}^{}(cos^{5}y) dy=siny-\frac{2}{3}sin^3y-\frac{1}{5}sin^5y$

Je to správně?

inter · 28. 12. 2014 12:03

↑ inter:
dál by to bylo:

$\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{5}dy-\frac{1}{5}\int_{0}^{2\pi }cos^5ydy=[\frac{1}{5}y]_{0}^{2\pi }-\frac{1}{5}[sin2\pi -\frac{2}{3}sin^32\pi -\frac{1}{5}sin^52\pi ]_{0}^{2\pi }$

po dosazení:

$=\frac{2\pi }{5}-\frac{1}{5}(1-\frac{2}{3}-\frac{1}{5})=\frac{60\pi -4}{150}$

ale to se nerovná výsledku v knížce: $\frac{15\pi -16}{150}$

Jj · 28. 12. 2014 12:06

↑ inter:

Ve druhém řádku je chyba v umocnění závorky. Ta se přenáší dále.

inter · 28. 12. 2014 12:14

↑ Jj:

$\int_{}^{}(1-t^2)^{2}dt=\int_{}^{}(1-2t^2+t^4)dt=t-\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{5}t^5$
$\int_{}^{}(cos^{5}y) dy=siny-\frac{2}{3}sin^3y+\frac{1}{5}sin^5y$

$\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{5}dy-\frac{1}{5}\int_{0}^{2\pi }cos^5ydy=[\frac{1}{5}y]_{0}^{2\pi }-\frac{1}{5}[sin2\pi -\frac{2}{3}sin^32\pi +\frac{1}{5}sin^52\pi ]_{0}^{2\pi }$
$=\frac{2\pi }{5}-\frac{1}{5}(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5})=\frac{60\pi -16}{150}$

kde je pořád chyba?

Jj · 28. 12. 2014 12:15 — Editoval Jj (28. 12. 2014 12:19)

↑ inter:

Ovšem řekl bych, že

$\int_{0}^{2\pi } \int_{\cos y}^1 x^4 dx dy=\frac{2\pi}{5}$

$(\sin 0 = \sin 2\pi = 0)$

Nevím, jakou úlohu řešíte - možná je chyba v sestavení integrálu.

inter · 28. 12. 2014 12:20

↑ Jj: hmmm, je možné, že ve výsledcích je chyba.. jdu počítat znova :)

inter · 28. 12. 2014 14:41

↑ inter:vpořádku. děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2014 10:22

dvojnásobný integrál

#2 28. 12. 2014 11:24 — Editoval Jj (28. 12. 2014 11:26)

Re: dvojnásobný integrál

#3 28. 12. 2014 11:56

Re: dvojnásobný integrál

#4 28. 12. 2014 12:03

Re: dvojnásobný integrál

#5 28. 12. 2014 12:06

Re: dvojnásobný integrál

#6 28. 12. 2014 12:14

Re: dvojnásobný integrál

#7 28. 12. 2014 12:15 — Editoval Jj (28. 12. 2014 12:19)

Re: dvojnásobný integrál

#8 28. 12. 2014 12:20

Re: dvojnásobný integrál

#9 28. 12. 2014 14:41

Re: dvojnásobný integrál

Zápatí