Matematické Fórum

kryštof · 29. 12. 2014 12:53

Ahoj, snažím se vypočítat délku trajektorie hmotného bodu, který je vystřelen pod elevačním úhlem $\alpha$ počáteční rychlostí $v_0$ . Parametrické vyjádření trajektorie je $x=v_{0x}t$ , $y=v_{0y}t-\frac{g}{2}t^2$ , $t\in [0,\tau =\frac{2v_{0y}}{g}]$ , délka trajektorie h. b. je $l=\int_{0}^{\tau }\sqrt{v_{0x}^2+(v_{0y}-gt)^2}\mathrm{d}t=v_{0x}\int_{0}^{\tau }\sqrt{1+(\frac{v_{0y}-gt}{v_{0x}})^2}\mathrm{d}t$ , po substituci $\frac{v_{0y}-gt}{v_{0x}}=r$ je $l=-\frac{v_{0x}^2}{g}\cdot \int_{\frac{v_{0y}}{v_{0x}}}^{-\frac{v_{0y}}{v_{0x}}}\sqrt{1+r^2}\mathrm{d}r$ , přitom $\frac{v_{0y}}{v_{0x}}=\text{tg}\alpha$ , takže $l=-\frac{v_{0x}^2}{g}[\frac{1}{2}r\sqrt{1+r^2}+\frac{1}{2}\ln (r+\sqrt{1+r^2})]_{\text{tg}\alpha }^{-\text{tg}\alpha }$ a to mi vyšlo $\frac{v_{0}^2\sin \alpha }{g}+\frac{v_{0}^2\cos ^2\alpha }{2g}\ln \frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }$ . Vzhledem k tomu, že ve výsledcích je to jinak, tak tam asi mám chybu. Můžete mi pomoct, kde je? Díky (podle výsledků to má být $\frac{v_{0}^2\sin \alpha }{g}+\frac{v_{0}^2\cos \alpha }{g}\ln \frac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }$ )

Eratosthenes · 29. 12. 2014 12:59

↑ kryštof:

Zkus se podívat na ten integrál po substituci - nějak mi nesedí.

kryštof · 29. 12. 2014 13:16

↑ Eratosthenes:
Můžeš mi říct, kde konkrétně, protože já ji tam nějak pořád nevidím.

Jj · 29. 12. 2014 16:04

↑ kryštof:

Dobrý den.

Pokud uvážíte, že

$\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}=\ln \sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}=\ln \sqrt{\frac{(1+\sin \alpha)^2}{1-\sin^2\alpha}}=\ln \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$

tak se Vaše řešení od uvedeného výsledku liší jen v mocnině kosinu ve výrazu před logaritmem.

Nejde náhodou jen o překlep? (nepřepočítával jsem to).

Eratosthenes · 29. 12. 2014 16:09

↑ kryštof:

omlouvám se, substituce je OK. Dál jsem to zatím nepočítal (nebyl čas), ale možná, že je to dobře všechno -viz ↑ Jj:. Doporučuji nejdříve překontrolovat případný překlep.

kryštof · 29. 12. 2014 17:45

Vzhledem k

Jj napsal(a):
↑ kryštof:

$\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}=\ln \sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}=\ln \sqrt{\frac{(1+\sin \alpha)^2}{1-\sin^2\alpha}}=\ln \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$

to bude pravděpodobně překlep ve výsledcích. Díky

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2014 12:53

délka trajektorie

#2 29. 12. 2014 12:59

Re: délka trajektorie

#3 29. 12. 2014 13:16

Re: délka trajektorie

#4 29. 12. 2014 16:04

Re: délka trajektorie

#5 29. 12. 2014 16:09

Re: délka trajektorie

#6 29. 12. 2014 17:45

Re: délka trajektorie

Jj napsal(a):

Zápatí