Matematické Fórum

opik1 · 29. 12. 2014 20:34

Dobrý den, chtěl jsem se zeptat, jestli mám správně vyřešenou tuto okrajovou úlohu.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-12/81513_DSC00348.JPG

seliga.adam · 30. 12. 2014 06:24

Ja sa snažím pochopiť čo tam robíš, ale nechápem tomu. Normálne sa pri takto jednoduchých rovniciach postupuje tak, že vypočítaš homogénne a partikulárne riešenie a sčítaš ich.

Homogénna časť
Riešiš úlohu tvaru:
$u''(x) + 9u(x) = 0$
Po pohľade na to si tipneš, že by riešenie mohlo vyzerať tvaru
$u_h(x) = c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x)$

Partikulárne riešenie
Teraz sa zameriaš na pravú stranu a uvažuješ ako ti tam mohla vzniknúť (najjednoduchší spôsob). Vidíš, že sú tam nejaké sínusy a kosínusy s argumentami $2x$ . No ak budeš niečo derivovať, tak tie ti vzniknú v najľahšom prípade práve z takýchto funkcií (a hlavne homogénna časť ich neobsahuje, vtedy je potrebné násobiť $x$ ). Takže povieš si, že partikulárne riešenie vyzerá nejak takto:
$u_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)$
Potom druhá derivácia tohto vyzerá takto:
$u_p''(x) = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)$
A má pre toto riešenie platiť diferenciálna rovnica, ktorú riešiš. Inak povedané dosadíš $u_p(x)$ za $u(x)$ v nej. Ľavá strana diferenciálnej rovnice je:
$u''(x) + 9u(x) = u_p''(x) + 9u_p(x) = -4A \cos(2x) - 4B\sin(2x) + 9A \cos(2x) + 9B\sin(2x) = 5A \cos(2x) + 5B \sin(2x)$
Pravá strana diferenciálnej rovnice je:
$5 \cos(2x) + 5 \sin(2x)$
Na to, aby sa pravá strana rovnala ľavej strane, tak musí platiť, že $A = 1$ a $B = 1$ . Celkové riešenie (nie ešte okrajovej rovnice) je riešenie tvaru
$u(x) = u_h(x) + u_p(x) = c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x) +\cos(2x) + \sin(2x)$

Toto je postup, ktorým sa riešia takéto diferenciálne rovnice najľahšie. Samozrejme, ty hľadáš riešenie okrajovej úlohy, tak treba ešte vypočítať hodnoty konštánt $c_1$ a $c_2$ z okrajových podmienok.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2014 20:34

okrajová úloha

#2 30. 12. 2014 06:24

Re: okrajová úloha

Zápatí