Matematické Fórum

BajaCZ · 31. 12. 2014 15:59 — Editoval BajaCZ (31. 12. 2014 16:06)

Zdravím,
prosím o pomoc, jak na následující soustavu. Předem všem moc děkuji. :)
$\frac{1}{100} \cdot x \cdot y = 5$
$x^{log y} = 5^{2}$

Rovnice jsem si zlogaritmovala
$log 1 - log 100 + log x + log y = log 5$
$log y \cdot log x = 2 \cdot log 5$

Dále to lze upravit
$(2 \cdot log 5 + log 4) + log x + log y = log 5$
Z druhé rovnice vyjádříme
$log x = \frac{2 \cdot log 5}{log y}$

Ale když to dosadím do první rovnice, nevychází mi výsledky
$x_{1} = 5$
$y_{1} = 100$
$x_{2} = 100$
$y_{2} = 5$

Děkuji za pomoc.

tomas janeta · 31. 12. 2014 16:52

Dobrý ,ak poupravuješ prvú rovnicu a zlogaritmuješ ,dostaneš $log x=log500-logy$
Zároveň druhú rovnicu môžeš zapísať ako $10^{log x logy}=10^{2log5}$ ,zlogaritmovaním a dosadením vzťahu z prvej rovnice ti zmizne neznáma

BajaCZ · 31. 12. 2014 18:00

↑ tomas janeta:
Děkuji, ale vyjde mi $\frac{500y}{y} = 25$ , což také vůbec nevychází.

misaH · 31. 12. 2014 18:55 — Editoval misaH (31. 12. 2014 19:00)

↑ BajaCZ:

$xy=500$ $x=\frac {500}{y}$

$\log y\log \frac {500}{y}=2\log5$ , $\log\frac {500}{y}=\log500-\log y$

$\log y= a$

$a^2-a\log500+2\log5=0$

Ešte som využila $\log500=\log5+2$ .

BajaCZ · 31. 12. 2014 20:15

↑ misaH:
Moc děkuji, ale stejně mi zůstávají ty logaritmy i v té kvadratické rovnici, když počítám determinant.
$a^{2} - 2 \cdot a - a \cdot log5 + 2 log5 = 0$
Ani vytýkáním ten logaritmus nejde odstranit.
Díky. :)

Jj · 31. 12. 2014 21:24 — Editoval Jj (31. 12. 2014 21:30)

↑ BajaCZ:

Dobrý večer.

Řekl bych, že nezbude, než s těmi logaritmy počítat:

$a^2-a(\log 5+2)+2\log 5=0$

$D = (\log 5+2)^2-8\log 5=\log^2 5+4\log 5 + 4 - 8\log 5=$

$=\log^2 5-4\log 5 + 4 = (\log 5 - 2)^2$

$\Rightarrow a_{1,2}=\frac{\log 5 + 2 \pm (\log 5 - 2)}{2}\Rightarrow a_1 = \log 5, \quad a_2 = 2$

a dál už to půjde.

Edit: No vida - kolega ↑ zdenek1: to spočítal i vytykáním.